1.7.1 Grundpotensform

<<  Förra demoavsnitt

Potenser

Grundpotensform

Övningar

Diagnosprov kap 1

För att förenkla skrivandet av stora och små tal används grundpotensform (eng. scientific notation) som är ett sätt att skriva tal med hjälp av $10$-potenser.

Grundpotensform visas i räknarens display (beroende på modellen) t.ex. så här:

Mera utförligt:

$5,26 \, {\text E} \, {\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot 10\,^{\color{Red} {-3}} \, = \, 5,26 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^3} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 5,26 \cdot {1 \over 1000} \, = \, 5,26 \cdot 0,001 \, = \, 0,00526}$

Definition:

$a \cdot 10\,^n \;$ kallas grundpotensform om $n \,$ är heltal och $\; 1 \leq$ $a$ $< 10 \;$.

Dvs $\, a \,$ måste vara mellan $\, 1,\ldots \,$ och $\, 9,\ldots \;$.

OBS!    Inte alla uttryck med en $\, 10$-potens är grundpotensformer. Talet $\, a \,$ som står framför $\, 10$-potensen måste vara $\, < 10 \,$.

Villkoret $\quad\ 1 \leq a < 10 \quad$ i definitionen gör att alla tal endast på ett sätt kan skrivas i grundpotensform.

I praktiken används grundpotensformen för att kunna skriva stora och små tal, utan att behöva skriva så många nollor.

Exempel på stora och små tal i grundpotensform

Stora tal: $\qquad 8\,250\,000\,000\,000\,000 \; = \; 8,25 \, \cdot \, 10\,^{15}$

Små tal: $\qquad\; 0,000\,000\,000\,000\,16 \;\; = \;\; 1,6 \, \cdot \, 10\,^{-13}$

Läs exemplen ovan från höger för att förstå hur man skriver grundpotensform till vanligt tal:

Att multiplicera $\, 8,25 \,$ med $\, 10\,^{15} \,$ innebär att flytta $\, 8,25$:s decimalkomma $\, 15 \,$positioner till höger.

Att multiplicera $\, 1,6 \,$ med $\, 10\,^{-13} \,$ innebär att flytta $\, 1,6$:s decimalkomma $\, 13 \,$positioner till vänster.

Omvänt, hur man skriver vanliga tal i grundpotensform, förklaras i Exempel 3 och 4 längre fram.

Exempel 1

Skriv grundpotensformen $\; 6,28 \cdot 10\,^6 \;$ till vanligt tal.

Lösning: $\qquad$Att multiplicera $\, 6,28 \,$ med $\, 10\,^6 \,$ innebär att multiplicera $\, 6,28 \,$ med $\, 1\,000\,000 \,$ och därmed att flytta $\, 6,28$:s decimalkomma $\, 6 \,$ positioner till höger:

$$\qquad\;\,\qquad\quad\; 6,28 \cdot 10\,^6 \, = \, 6,28 \cdot 1\,000\,000 \, = \, \underline{6\,280\,000}$$

Exempel 2

Skriv grundpotensformen $\; 3 \cdot 10\,^{-4} \;$ till vanligt tal.

Lösning: $\qquad$Att multiplicera $\, 3 \,$ med $\, 10\,^{-4} \,$ innebär att multiplicera $\, 3 \,$ med $\, 0,000\,1 \,$ och därmed att flytta $\, 3$:s decimalkomma $\, 4 \,$ positioner till vänster.

  Decimalkommats aktuella position är $\, 3,0 \,$. Flyttning $\, 4 \,$ positioner till vänster ger $\, 0,000\,3 \,$:

$$\qquad\;\,\qquad\quad\; 3 \cdot 10\,^{-4} \, = \, 3 \cdot \displaystyle{{1 \over 10\,^4} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10} \, = \, 3 \cdot {1 \over 10\,000} \, = \, 3 \cdot 0,000\,1 \, = \, \underline{0,000\,3}}$$

Exempel 3

Skriv $\; 11\,000 \;$ i grundpotensform.

Lösning: $\qquad 11\,000 \, = \, 11 \cdot 1\,000 \, = \, 11 \cdot 10\,^3 \, = \, 11 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^3 \, = \, (11 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^3) \, = \, \underline{1,1 \cdot 10\,^4}$

$${\rm {\color{Red} {OBS!\qquad\quad\; Vanligt\,fel:}}} \quad\;\; 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm som\;svar.}$$

$\qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Därför\;att} \qquad 11 \cdot 10\,^3 \quad {\rm inte\;är\;någon\;grundpotensform:} \quad 11 > 10 \quad ,$ se definitionen:

$$\qquad\;\,\qquad\quad\; {\rm Villkoret} \quad 1 \leq a < 10 \quad {\rm är\;inte\;uppfyllt\;} \quad \Longrightarrow \quad 11 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}$$

Visserligen är $\, 11 \cdot 10\,^3 \,$ ett uttryck med en $\, 10$-potens, men ingen grundpotensform. Endast $\, \underline{1,1 \cdot 10\,^4} \,$ är grundpotensformen till $\, 11\,000$.

Exempel 4

Skriv $\; 0,000\,39 \;$ i grundpotensform.

Lösning: $\qquad 0,000\,39 \; {\rm har} \; 5 \; {\rm decimaler} \quad \Longrightarrow \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5}$

$$\; a \; {\rm måste\;uppfylla\;villkoret\;} \; 1 \leq a < 10 \quad \Longrightarrow \quad 39 \; {\rm inte\;lämpligt\;som\;} a \, {\rm .}$$

$$\; {\rm Därför:} \quad 0,000\,39 \, = \, 39 \cdot 10\,^{-5} \, = \, 39 \cdot \underbrace{ {\color{Red} {10\,^{-1} \cdot 10\,^1}} }_{=\;1} \cdot 10\,^{-5} \, = \, (39 \cdot {\color{Red} {10\,^{-1}}}) \cdot ({\color{Red} {10\,^1}} \cdot 10\,^{-5}) \, = \, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}}$$

Samma sak här: $\, 39 \cdot 10\,^{-5} \,$ är ett uttryck med en $\, 10$-potens, men ingen grundpotensform. Endast $\, \underline{3,9 \cdot 10\,^{-4}} \,$ är grundpotensformen till $\; 0,000\,39$.

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=G8EqeYUXZOk

http://www.maspa.se/MATEMATIK/Matte4/Aritmetik/Naturliga%20Tal/Reknelagar/1asja.html

https://www.youtube.com/watch?v=Dme-G4rc6NI

Copyright © 2010-2019 TechPages Förlag AB. All Rights Reserved.