1.4 Talet e och den naturliga logaritmen

Genomgång

Talet \( e \,\)

Experiment 1 \( \qquad \) Ta fram din miniräknare och gör så här:

Leta efter funktionsknappen (ev. med hjälp av 2nd-knappen) \( \quad \boxed{e^{\,x}} \;\; \)
Tryck på den, mata in \( \, 1 \, \) och stäng parentesen.
Tryck på ENTER när det står \( \, e \) ^ \((1) \; \) i räknarens display.

Du har beräknat \( \; e{\,^1} \; \) eller talet \( \, \color{blue} e \,\), dvs \( \qquad 2,718281828\ldots \quad \),

en av matematikens mest kända konstanter, även kallad Eulers tal.

Talet \( \, \color{blue} e \, \) är kallat efter den tysk-schweiziske matematikern Leonard Euler som på 1700-talet definierade detta märkliga tal.

Märkligt, därför att \( \, e \, \) inte är ett "vanligt" tal som heltal eller bråk. Det är inte ett rationellt tal, se olika typer av tal.

Talet \( \, e \, \) är ett irrationellt tal, precis som talen \( \pi,\, \sqrt{2},\, \sqrt{3},\,\ldots \, \), som inte kan skrivas i bråkform.

Irrationella tal är decimaltal som har en icke-periodisk decimalutveckling dvs oändligt många decimaler utan något upprepande mönster (period).

Här kan man beskåda de första 5 miljoner decimaler av talet \( \, e \, \). Leta gärna efter ett upprepande mönster! Du kommer inte att hitta något.

OBS! \( \quad e \; \) är ingen variabel utan en s.k. namngiven konstant som har värdet \( \, 2,718281828\ldots \, \).

Talet \( \, e \, \) förekommer bl.a. i en formel som enligt många är en av matematikens vackraste, nämligen sambandet mellan heltalet \( 1\, \), de irrationella talen \( e,\;\pi \) och den imaginära enheten \( \, i = \sqrt{-1} \), där även \( \pi \) och \( \, i \, \) är namngivna konstanter:

\( e^{\,2\,\pi\,i} \) \( = 1 \)

Ingen fara, vi har inte för avsikt att närmare gå in på denna formel. Vi nämner den bara för att illustrera betydelsen av talet \( \, e \, \) inom den matematiska analysen, den delen av matematiken som behandlar gränsvärden, derivator, integraler och differentialekvationer.

Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?

Eulers formel kan användas för att numeriskt få fram några decimaler av talet \( e \,\):

\( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \to \; e \) \( \quad {\rm när} \quad n \to \infty \)

Dvs: Uttrycket ovan går mot \( e \,\) när \( n\, \) går mot oändligheten (\( \infty \)) eller:

Uttrycket närmar sig allt mer \( \, e \,\) ju större \( \, n\, \) blir. Tabellen tar några steg i denna process:

\( \left(1 + {1 \over n}\right)^n \)	\( {\color{Red} {2,71}}6923932\ldots \)	\( {\color{Red} {2,71828}}0469\ldots \)	\( {\color{Red} {2,71828182}}7\ldots \)	\( {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \)	\( \quad \to \; {\color{Red} {{\rm Eulers\;tal\;} e}} \quad \)
\( n \)	\( 1\,000 \)	\( 1000\,000 \)	\( 1000\,000\,000 \)	\( 10\,000\,000\,000 \)	\( \to \infty \)

De korrekta siffrorna är rödmarkerade och visar hur uttrycket sakta men säkert konvergerar mot det värde man får i räknaren när man slår in \( e^{\,1} \, \).

Eulers formel ger oss en algoritm för att med hjälp av heltalen \( \, n \, \) närma oss det irrationella talet \( \, e \, \) (tabellen ovan).

Så i fortsättningen när vi räknar med talet \( e \,\) nöjer vi oss med följande närmevärde med nio decimaler:

\( e \; = \; {\color{Red} {2,718281828\ldots}} \)

Exponentialfunktionen med basen \( e \,\)

Tar man talet \( {\color{Red} e} \) som bas och bildar potensen \( {\color{Red} {e{\,^x}}} \) får man den s.k. exponentialfunktionen \( {\color{Red} {y = e{\,^x}}} \) med basen \( {\color{Red} e} \, \) som har stor betydelse inom naturvetenskap, teknik och ekonomi:

\( y \; = \; e\,^x \)

med grafen:

Exponentialfunktionen med basen \( \; {\color{Red} e} \)

Egenskaper

Exponentialfunktionen är alltid positiv: \( \, e\,^x \, > \, 0 \, \) för alla \( \, x \). Den blir aldrig \( 0\, \) eller negativ. Definitionsmängden: alla \( x \).
\( e\,^0 = 1 \) vilket följer av potenslagen om nollte potens.
För negativa \( \, x \, \) är \( \, e\,^x < 1 \). För positiva \( \, x \, \) är \( \, e\,^x > 1 \) och växer allt starkare ju större \( \, x \, \) blir.
Exponentialfunktionen växer starkast bland alla (hittills för oss kända) matematiska funktioner.

Exponentiell tillväxt modelleras med exponentialfunktioner av typ \( \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, \) med \( \, k \, {\color{Red} >} \, 0 \).

Exponentiell minskning modelleras med exponentialfunktioner av typ \( \, y = C \cdot e\,^{k \, x} \, \) med \( \, k \, {\color{Red} <} \, 0 \).

Exponentiell tillväxt (eller minskning) förekommer både i naturvetenskapliga och ekonomiska tillämpningar. Den har en starkare takt än t.ex. potensfunktionen \( \, y = x^2 \, \) som har kvadratisk tillväxt. Testa gärna genom att rita grafen till \( \, y = x^2 \, \) och \( \, y = e\,^x \, \) i ett och samma koordinatsystem och jämföra kurvornas branthet.

I repetitionen Exponentialfunktioner hade vi pratat om exponentialfunktioner (i pluralis) därför att vi där inte hade valt en speciell bas. Vilken exponentialfunktion man menar beror på vilken bas man väljer, t.ex. \( y = 2\,^x \) eller \( y = 3\,^x,\;\cdots \).

När man däremot pratar om den exponentialfunktionen (i singularis) utan att nämna basen menar man alltid exponentialfunktionen med basen \( \, e\,\) \(-\) som en slags prototyp för alla exponentialfunktioner.

Den naturliga logaritmen

Experiment 2 \( \qquad \) Ta fram din miniräknare och gör så här:

Tryck på funktionsknappen \( \, \boxed{e^{\,x}} \) och mata in \( \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad \) och stäng parentesen.
Tryck på ENTER när det står \( \, e \) ^ \((2) \; \) i displayen. Låt resultatet \( \, e^{\,2} \, \) (något decimaltal) stå i displayen.
Tryck på funktionsknappen \( \, \boxed{\rm{LN}} \, \).
Mata in ANS som står för ANSwer och lagrar räknarens sist beräknade värde, i vårt fall \( \, e^{\,2} \).
Stäng parentesen och tryck på ENTER: Du får tillbaka \( \quad \color{Red}{\boxed{2}} \quad \) som du hade matat in i början.

Du har beräknat \( \, \ln\,(e^{\,2}) \) som ger \( \, 2 \, \), dvs: \( \qquad\quad\;\;\; \ln\,(e^{\,2}) \, = \, 2 \)

Genomför ett liknande experiment som visar: \( \qquad\qquad e^{\,\ln 2} \, = \, 2 \, \)

I räknaren står \( \boxed{\rm{LN}} \) för Logaritmus Naturalis, den naturliga logaritmen, medan \( \boxed{\rm{LOG}} \) står för \( \, 10\)-logaritmer.

När man skriver står \(\ln\) för logaritmus naturalis och är symbolen för den naturliga logaritmen.

Talet \( \, e \, \) bildar basen till \(\ln\).

Exempel:

\(\ln 3 \, \) = Exponent som basen \( \, e \, \) ska upphöjas till, för att ge \( \, 3 \, \):

\( \quad e\,^{\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; 3 \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} {1,09861\ldots}} \; = \; \ln\,3 \)

I räknaren: \( \qquad\qquad\quad \boxed{\text{LN}}\) \((3) \; = \; {\color{Red} {1,09861\ldots}} \)

Generellt:

Definition:

\(\ln a \, \) = Exponenten \( \color{Red} x \) som basen \( \, e \, \) ska upphöjas till, för att ge \( \, a \, \):

\( \qquad\qquad\quad \) \( e^{\color{Red} x} = a \qquad \Leftrightarrow \qquad {\color{Red} x} = \ln\,a \)

Exponentialfunktionen \( \, y = e\,^x \, \) ger upphov till den naturliga logaritmfunktionen \( \, {\color{Red} {y = \ln x}} \, \):

\( y \; = \; \ln\, x \)

med grafen:

Den naturliga logaritmfunktionen

Egenskaper

Logaritmen är definierad endast för positiva \( \, x\, \). Definitionsmängden: \( \, x > 0 \).
\( \ln\,1 = 0 \, \) vilket är logaritmformen till \( \, e\,^0 = 1 \), se egenskap 2 hos exponentialfunktionen.
För \( x < 1\, \) är logaritmen negativ och för \( x > 1\, \) är den positiv.
Logaritmen växer allt svagare ju större \( \, x\, \) är.

OBS! Logaritmen är för \( \, x=0 \, \) inte alls och för \( \, x<0 \, \) inte definierad inom de reella talen.

För \( \, x < 0 \, \) har \( \, y \, = \, \ln x \, \) komplexa värden.

Här behandlas den naturliga logaritmen endast inom de reella talen.

Inversegenskapen

Experiment 2 visar ett exempel på att \( \, \boxed{\rm{LN}} \, \) är den inversa operationen till \( \, \boxed{e\,^x} \, \).

Generellt:

Den naturliga logaritmen \( \, y \, = \, \ln\,x \, \) är den inversa (motsatta) funktionen till exponentialfunktionen \( \, y \, = \, e\,^x \, \):

\[ \ln\,(e^{\,x}) \, = \, x \qquad {\rm och\; } \qquad e^{\,\ln\,x} \, = \, x \qquad\quad {\rm I\;ord:\quad } e^{\,x} {\rm \;och\; } \ln\,x \;{\rm {\color {Red} {tar\;ut\;varandra}}.} \]

Inversegenskapen gäller oberoende av operationernas ordning: Vare sig du tar först \( e^{\,x} \) och sedan \( \ln\,x \) eller tvärt om, resultatet blir alltid \( \,x \).

Dvs man återvänder till det värde \( \,x \) man hade börjat att använda någon av dessa operationer på. Förutsättningen är förstås att man utför \( e^{\,x} \) och \( \ln\,x \) direkt efter varandra.

Både \( \ln\,(e^{\,x}) \) och \( e^{\,\ln\,x} \) är exempel på s.k. sammansatta funktioner. För sådana funktioner gäller regeln:

Sammansatta funktioner beräknas inifrån: Experiment 2 var ett exempel på detta. För att få \( \, \ln\,(e^{\,2}) \, \), beräknades först \( \, e^{\,2} \) och sedan \( \, \ln\,(e^{\,2}) \).

Exponentialekvationen av typ \( \; e\,^x \, = \, b \)

Precis som exponentialekvationen \( \, 10\,^x \, = \, b \; \) löstes med den inversa operationen till \( \, 10\,^x \), nämligen \( \, 10\)-logaritmen, löses ekvationen ovan med den inversa operationen till \( \, e\,^x \), nämligen den naturliga logaritmen.

Exempel

\(\begin{array}{rcll} e^{\,x} & = & 68 & {\rm Logaritmera\;båda\;leden\;med\;\ln} \\ {\color{Red} {\ln}}\,({\color{Red} e}^{\,x}) & = & \ln\,68 & {\rm Använd\;inversegenskapen\;på\;VL} \\ x & = & \ln\,68 & \\ x & = & 4,219507705\ldots & \\ {\rm Kontroll:\qquad} e^{\,4,219507705} & = & 68 & \end{array}\)