2.3 Fördjupning till Gränsvärde

Innehåll

1 Existens av gränsvärden
- 1.1 Exempel på att gränsvärde saknas
- 1.2 Exempel 2 a
2 Ensidiga och oegentliga gränsvärden
- 2.1 Exempel
3 Internetlänkar

Existens av gränsvärden

I genomgången bestämdes gränsvärdet av \( \, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, \) till \( \, 0 \, \) utan att fråga om den överhuvudtaget existerade. Själva bestämmandet av gränsvärdet \( \, 0 \, \) bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde inte existerar och därför inte heller kan bestämmas.

Som exempel tar vi samma funktion som ovan, men betraktar dess beteende för \( \; \color{Red} {x \to 2} \; \).

Exempel på att gränsvärde saknas

Funktionen \( y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \) är given: \( \qquad\qquad\qquad \) Vad händer med \( \, y \, \) när \( \; x \to 2 \; \)?

Bestäm \( \quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \)

Svar: \( \quad\;\; f(x)\, \) är inte definierad för \( x = 2\, \).

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow \)

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad \) existerar inte :

\( \qquad \) Gränsvärde saknas.

\( \qquad \)

Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten \( \, x = 2 \).

Algebraiskt är \( \, f(x)\, \) inte definierad för \( x = 2\, \), för \( \displaystyle{10 \over x\,-\,2} \):s nämnare blir \( \, 0\, \) för \( \, x = 2 \).

Dessutom finns det två olika resultat beroende på om \( \, x \) går mot \( \, 2 \) från höger eller från vänster:

\( f(x)\, \) går mot \( +\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från höger och mot \( -\, \infty \) när man närmar sig \( \, x = 2 \) från vänster. Med pilar:

\( y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+ \)

\( y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^- \)

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

Följande modifierad variant av Exempel 2 (\( \, {\color{Red} {x \to 0}} \, \) istället för \( \, x \to \infty \)) visar samma sak:

Exempel 2 a

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

\[ \lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty \]

\[ \lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty \]

där \( x \to 0^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och \( x \to 0^- \) att närma sig \( \, x = 0 \) från vänster (\( \, x < 0 \)).

Anmärkning: Sättet att skriva limes som ovan förklaras nedan i Ensidiga och oegentliga gränsvärden.

Svar: \( \qquad\;\; \) Gränsvärde saknas.

Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot \( +\,\infty \), för ett visst \( \, x \) både från höger och vänster, t.ex. \( \displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}} \) för \( \, x = 0 \), skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är \( +\,\infty \), därför att \( \infty \) inte är något värde. Med andra ord:

Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.

Därför är det matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; \) och \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;\) existerar inte.

Ensidiga och oegentliga gränsvärden

Skiljer man närmandet från höger till \( \, x = 2 \, \) från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:

\[ \lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty \]

där \( x \to 2^+ \) betyder att närma sig \( \, x = 2 \) från höger (\( \, x > 2 \)) och \( x \to 2^- \) att närma sig \( \, x = 2 \) från vänster (\( \, x < 2 \)).

Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet \( \, 2 \) på \( \, x\)-axeln: från höger \( x \to 2^+ \) och från vänster \( x \to 2^- \), därav beteckningen ensidig. I vårt exempel ger de också två olika resultat.

Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man oegentliga gränsvärden.

Exempel

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty \)

Grafen visar att funktionen \( \displaystyle f(x) = {1 \over x^2} \) går mot \( +\,\infty \) både

när \( \, x \to 0 \) från höger (\( \, x > 0 \)) och från vänster (\( \, x < 0 \)). Visserligen

är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför oegentligt.

Däremot är \( \displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2} \) varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.

\( \qquad \)

Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar, är det o.k.

OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \; \) eller \( \; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \; \) existerar.