3.4 Lösning 7

\[ \, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5 \]

\[ \, f\,'\,(x) \, = \, 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4 \]

\[ \, f\,''\,(x) \, = \, 12\,x^2 \, - \, 20\,x^3 \]

\[ \, f\,'''\,(x) \, = \, 24\,x \, - \, 60\,x^2 \]

\[ \, f\,^{\rm (IV)}\,(x) \, = \, 24 \, - \, 120\,x \]

\[ f\,'(0) \, = \, 0 \]

\[ f\,''(0) \, = \, 0 \]

\[ f\,'''(0) \, = \, 0 \]

\[ \, f\,^{\rm (IV)}\,(0) \, = \, 24 \, > \, 0 \]

De första tre derivatorna är \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \).

Den första derivata som inte är \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \) har jämn grad \( \, 4 \, \) och är dessutom \( > 0 \, \).

Slutsats ur regeln i övn 7: \( \, x \, = \, 0 \, \) är en minimipunkt.