3.4 Lösning 7

$$\, f(x) \, = \, x^4\, (1 \, - \, x) \, = \, x^4 \, - \, x^5$$

$$\, f\,'\,(x) \, = \, 4\,x^3 \, - \, 5\,x^4$$

$$\, f\,''\,(x) \, = \, 12\,x^2 \, - \, 20\,x^3$$

$$\, f\,'''\,(x) \, = \, 24\,x \, - \, 60\,x^2$$

$$\, f\,^{\rm (IV)}\,(x) \, = \, 24 \, - \, 120\,x$$

$$f\,'(0) \, = \, 0$$

$$f\,''(0) \, = \, 0$$

$$f\,'''(0) \, = \, 0$$

$$\, f\,^{\rm (IV)}\,(0) \, = \, 24 \, > \, 0$$

De första tre derivatorna är $\, 0 \,$ för $\, x = 0 \,$.

Den första derivata som inte är $\, 0 \,$ för $\, x = 0 \,$ har jämn grad $\, 4 \,$ och är dessutom $> 0 \,$.

Slutsats ur regeln i övn 7: $\, x \, = \, 0 \,$ är en minimipunkt.