3.3 Lösning 8b

Vi tar över $\, f(x) \,$ och dess andraderivata från 9a och bildar tredje derivatan:

$$\begin{array}{rcl} f(x) & = & 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1 \\ f''(x) & = & 24\,x^2 + 42\,x + 10 \\ f'''(x) & = & 48\,x + 42 \end{array}$$

Andraderivatans nollställen:

$$\begin{array}{rcl} 24\,x^2 + 42\,x + 10 & = & 0 \\ x^2 + \frac{42}{24}\,x + \frac{10}{24} & = & 0 \\ x^2 + 1,75\,x + 0,4167 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & -0,875 \pm \sqrt{0,7656 - 0,4167} \\ x_{1,2} & = & -0,875 \pm 0,5907 \\ x_1 & = & - 0,284 \\ x_2 & = & - 1,466 \end{array}$$

Vi Sätter in andraderivatans nollställen i tredjederivatan $\, f'''(x) \, = \, 48\,x + 42$

$\underline{x_1 = -0,284} \,$: $\underline{x_2 = -1,466} \,$:

$\;$

$f'''(-0,284) \, = \, 48\cdot(-0,284) + 42 = 28,4 \neq 0$ $\Longrightarrow \quad x_1 = -0,284 \quad {\rm inflexionspunkt.}$ $f'''(-1,466) = 48\cdot(-1,466) + 42 = -28,4 \neq 0$ $\Longrightarrow \quad x_2 = -1,466 \quad {\rm inflexionspunkt.}$

Inflexionspunkternas koordinater:

$f(x) \, = \, 2\,x^4 + 7\,x^3 + 5\,x^2 + 1$

$f(-0,284) \, = \, 2\cdot(-0,284)^4 + 7\cdot(-0,284)^3 + 5\cdot(-0,284)^2 + 1 = 1,256$

$$\Longrightarrow \quad\; (-0,284; 1,256) \quad {\rm är\;inflexionspunkt.}$$

$f(-1,466) \, = \, 2\cdot(-1,466)^4 + 7\cdot(-1,466)^3 + 5\cdot(-1,466)^2 + 1 = -1,071$

$$\Longrightarrow \quad\; (-1,466, -1,071) \quad {\rm är\;inflexionspunkt.}$$