3.2 Lokala maxima och minima
| << Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Lektion 30 Lokala maxima och minima I
Lektion 31 Lokala maxima och minima II
Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima och minima, se Begreppsförklaringar. Globala maxima och minima behandlas först senare.
Andraderivata
Med andraderivata menas derivatans derivata som betecknas med \( \, f\,''(x) \, \) och läses \( \; {\rm "}\!f \; {\rm biss\;av\; } x\,{\rm"} \, \).
Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion en gång till enligt deriveringsreglerna.
Det är derivatans nollställen och andraderivatans tecken i derivatans nollställen som avgör om en funktion har maxima eller minima:
Regler om max/min med andraderivatan
\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett maximum i \( \; x = a \; \).
\( f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 \; \) och \( \; f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har ett minimum i \( \; x = a \; \).
Om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \, \) kan endast en korrekt teckenstudie eller \( \, f\,'''(a) \, \) avgöra saken.
\( {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \; \) har varken maximum eller minimum i \( \; x = a \).
\( \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\!\! f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Ingen utsaga kan göras om hur \( \, f(x) \, \) förhåller sig i \( \, x = a \), se ovan om teckenstudie och \( \, f\,'''(a) \).
\( \qquad\quad\; \) Med andra ord: \( \, f(x) \, \) kan ha ett maximum eller ett minimum i \( \, x = a \), även om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = 0 \), se 3.4 övning 6.
Förklaring:
Bilden till vänster visar att funktionen har ett minimum i \( \, x = 2 \, \) och ett maximum i \( \, x = 4 \).
Bilden i mitten visar att derivatan har nollställen i dessa punkter. I \( \, x = 2 \, \) går derivatan från \( \, - \, \) (under \( x\)-axeln) till \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln), dvs derivatan är växande. I \( \, x = 4 \, \) går derivatan från \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln) till \( \, - \, \) (uner \( x\)-axeln), dvs derivatan är avtagande.
Bilden till höger visar att andraderivatan i \( \, x = 2 \), där derivatan växer, är positiv, vilket enligt regeln ovan innebär ett minimum för \( \, f(x) \). Detta bekräftas av funktionens graf till vänster. I \( \, x = 4 \), där derivatan avtar, är andraderivatan negativ, enligt regeln ett maximum. Även detta ser man i funktionens graf.
Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt
 |
Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och \( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \) a) Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,f(x) \), \( \,f\,'(x) \) och \( \,f\,''(x) \) i separata koordinatsystem. b) Bestäm nattens kallaste tidpunkt med andraderivatan. c) Bestäm nattens lägsta temperatur. |
Lösning med andraderivatan:
a) \( f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \qquad\qquad\qquad\quad\;\; f\,'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; f\,''(x) \, = \, 0,48 \)
b) Reglerna om max/min med andraderivatan kräver derivatans nollställen. Därför sätter vi derivatan till \( \, 0 \, \) och beräknar \( \, x \):
- \[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & {2,4 \over 0,48} \\ & & x & = & 5 \end{array}\]
Derivatan blir \( \, 0 \, \) för \( \, x = 5 \): Tangenten till kurvan \( \, y = f(x) \, \) har lutningen \( \, 0\, \) dvs är horisontell i \( \, x = 5 \, \).
Av detta följer att \( \, x = 5 \, \) är en extrempunkt. Men en extrempunkt kan vara ett maximum eller ett minimum.
För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.
Därför sätter vi \( \, x = 5 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
- \[ f\,''(x) \, = \, 0,48 \]
- \[ f\,''(5) = 0,48 \,>\, 0 \]
Andraderivatan är positiv (konstant) för alla \( x \, \) och därmed även för \( x = 5 \, \). Därav följer att \( \, f(x) \, \) har ett minimum i \( \; \boxed{x_{min} \, = \, 5} \; \).
Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl \( \, 5 \, \).
c) Temperaturen vid kl \( \, 5 \, \) är:
- \[ f(x_{min}) = f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]
Alltså är nattens lägsta temperatur \( \, 1 \, \) grad Celsius.
En alternativ metod för att skilja mellan max och min är teckenstudie som till skillnad från metoden med andraderivatan klarar sig med endast första derivatan.
Det är derivatans nollställen och derivatans teckenbyte kring derivatans nollställen som avgör om en funktion har maxima eller minima:
Regler om max/min med teckenstudie
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, + \, \) till \( \, - \, \) kring \( \, a \quad \Longrightarrow \quad y = f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = a \, \).
\( f\,'(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \; \) byter tecken från \( \, - \, \) till \( \, + \, \) kring \( \, a \quad \Longrightarrow \quad y = f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = a \, \).
Förklaring:
\( \quad \) |
\( \quad \) | Man brukar skriva in resultaten i en teckentabell:
|
Man ser att derivatan i \( \, x = 2 \, \) byter tecken från \( \, - \, \) (under \( x\)-axeln) till \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln), vilket enligt regeln ovan innebär ett minimum för \( \, f(x) \, \) och bekräftas av funktionens graf. I \( \, x = 4 \, \) byter derivatan tecken från \( \, + \, \) (över \( x\)-axeln) till \( \, - \, \) (uner \( x\)-axeln), enligt regeln ett maximum. Även detta ser man i funktionens graf.
Om derivatan \( \, f\,'(a) = 0 \, \) men \( \, f\,'(x) \, \) inte byter tecken kring \( \, a \) måste ytterligare undersökningar göras, vilket behandlas i nästa avsnitt.
Med kring \( \, {\color{Red} a} \, \) i Regler om max/min med teckenstudie menas i en tillräckligt liten omgivning av \( \, {\color{Red} a} \, \).
Detta betyder i praktiken att man ska undersöka ett ev. teckenbyte i en omgivning som är så nära \( \, a \) som möjligt.
Hur stor exakt en tillräckligt liten omgivning av\( \, a \,\) ska vara beror på den aktuella funktionen \( \, f(x)\):s egenskaper.
För att demonstrera regeln ovan tar vi samma Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt som behandlades tidigare. Vi bibehåller frågeställningen, men byter lösningsmetod:
Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt med teckenstudie
Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen
- \[ y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \]
där \( y \;\, = \) temperaturen i grader Celsius och
\( x \;\, = \) tiden i timmar efter midnatt
Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsmängd: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \)
Bestäm nattens kallaste tidpunkt med en teckenstudie.
Lösning med teckenstudie:
Vi bestämmer fortfarande derivatans nollställen, men använder en teckenstudie för att skilja mellan max/min.
Derivatans nollställe \( \, x = 5 \, \) tar vi över från Lösning med andraderivatan och bekräftar:
- \[ f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]
- \[ f'(x) = 0,48\,x - 2,4 \]
- \[ f' (5) = 0,48\cdot 5 - 2,4 = 0 \]
För att avgöra om \( \, x = 5 \, \) är maximi- eller minimipunkt måste vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om denna punkt.
Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 4,9 \, \) och \( \, x = 5,1 \, \) på \( \, x\)-axeln och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
|
|
Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger och visar att \( \, f(x)\, \) antar ett minimum i \( \; \boxed{x_{min} \, = \, 5} \; \),
därför att \( \, f\,'(5) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 5 -\) allt enligt reglerna ovan.
Därför inträffar nattens kallaste tidpunkt kl \( \, 5 \).
Sammanfattning:
Gemensamt för alla maxima och minima är att derivatan där är \( \, 0 \), därför att tangenten har lutningen \( \, 0 \, \). Följaktligen:
Genom att bilda derivatan, sätta den till \( \, 0 \, \) och beräkna \( \, x \), hittar vi maximi- och minimipunkternas \( \, x\)-koordinater.
Sedan gäller det att skilja mellan maximi- och minimipunkter antingen med andraderivatan eller teckenstudie.
Exempel 2 Maximal företagsvinst
Vi återgår till Exempel 3 i förra avsnitt, men byter frågeställning:
Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:
- \[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]
där \( V \; = \) företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och
\( t \;\, = \) tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)
a) Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,V(t) \), \( \,V\,'(t) \) och \( \,V\,''(t) \) i separata koordinatsystem.
b) När har företaget maximal vinst? Denna uppgift ska lösas både med andraderivatan och teckentabellen.
c) Hur stor är företagets maximala vinst?
Frågorna b) och c) ska besvaras algebraiskt.
Lösning:
a)
b) Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till \( \, 0 \):
- \[\begin{array}{rcrcl} V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0 \\ & & t^2 - 6 \,t + 8 & = & 0 \end{array}\]
- 2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med Vieta:
- \[ \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 & = & 8 \\ t_1 + t_2 & = & -(-6) = 6 \\ &\Downarrow& \\ t_1 & = & 2 \\ t_2 & = & 4 \end{array}\]
- Dvs \( V'(2) = V'(4) = 0\, \) vilket innebär:
- Tangenterna till kurvan \( V(t)\, \) i punkterna \( t_1 = 2 \, \) och \( t_2 = 4 \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontella.
- Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter.
- För att skilja mellan max och min använder vi två metoder: andraderivatan och teckentabellen \(-\) en i taget:
b) forts. med andraderivatan:
- Reglerna om max/min med andraderivatan tillämpas på derivatans båda nollställen.
- Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \quad \; \)
- Vi sätter in \( t_1 = 2 \, \) i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
- \[ V\,''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]
- \[ V\,''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 \]
- Andraderivatan är positiv för \( t_1 = 2 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett minimum i \( t_1 = 2 \, \).
- Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \quad \; \)
- Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:
- \[ V\,''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]
- Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).
- Alltså har företaget sin största vinst efter \( t_2 = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
b) forts. med teckenstudie:
- Reglerna om max/min med teckenstudie tittar på derivatans teckenbyte i en nära omgivning av derivatans nollställen.
- Vi tillämpar regeln enskilt på vart och ett nollställe.
- Nollställe 1: \( \; t_1 = 2 \)
- Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 1,9 \) och \( \, t = 2,1 \) på t-axeln och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
- \[ V'(t) = -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]
- \[ V' (1,9) = -9\cdot 1,9^2 + 54\cdot 1,9 - 72 = -1,89 < 0 \]
- \[ V' (2,1) = -9\cdot 2,1^2 + 54\cdot 2,1 - 72 = 1,71 > 0 \]
- Nollställe 2: \( \; t_2 = 4 \)
- Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 3,9 \) och \( \, t = 4,1 \) på t-axeln nära \( t_2 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
|
|
- Resultaten från båda nollställena skrivs in i teckentabellen ovan till höger som slutligen kan förenklas till följande teckentabell:
| \(t\) | \(2\) | \(4\) | |||
| \( V\,'(t) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( \,V(t) \) | ↘ | Min | ↗ | Max | ↘ |
- Slutsatser:
- \( V(t)\, \) har ett minimum i \( \, t_1 = 2 \), därför att \( V\,'(2) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 2 \).
- \( V(t)\, \) har ett maximum i \( \, t_2 = 4 \), därför att \( V\,'(4) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 4 \).
- Resultatet är förstås det samma som i b) forts. med andraderivatan:
- Företaget har sin största vinst efter \( \, t_2 \, = \, t_{max} \, = \, 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.
c) För att få företagets maximala vinst sätter vi in \( t_{max} = 4 \, \) i vinstfunktionen:
- \[ V(t) = -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]
- \[ V(t_{max}) = V(4) = -3\cdot 4^3 + 27\cdot 4^2 - 72\cdot 4 + 60 = 12 \]
Alltså är företagets maximala vinst \( 12\,000 \) kr som antas vid årsskiftet 2013/2014.
Begreppsförklaringar
 |
Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden i
sin närmaste omgivning. Med maxima och minima menas i detta kapitel alltid lokala maxima/minima. Båda tillsammans heter extremvärden. På bilden har vi två extremvärden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \, \). Extremvärdenas \( \, x\)-koordinater heter extrempunkter, på bilden: \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \, \). Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \). Med en extrempunkt menas alltid \( \; {\color{Red} x}\)-koordinaten, t.ex. \( \; 2 \; \) och \( \;\; 4 \).
Med ett extremvärde menas alltid \( {\color{Red} y}\)-koordinaten, t.ex. \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \). Att vara maximi- eller minimipunkt kallas för extrempunktens karaktär eller typ. |
I hela detta kapitel förutsätts att varje funktion \( \, y = f(x) \, \) är kontinuerlig i alla punkter av sin definitionsmängd, se definitionen.
Påminnelse: En funktions definitionsmängd är mängden av alla \( \, x \, \) för vilka funktionen är definierad.
OBS! Det finns punkter där derivatan är \( \, 0 \), utan att dessa punkter är extrempunkter. De behandlas i nästa avsnitt.
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
