1.6 Absolutbelopp

\( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Diagnosprov 1 kap 1

Diagnosprov 2 kap 1

Lösningar till diagnosprov 1 kap 1

Lösningar till diagnosprov 2 kap 1

Lektion 11 Absolutbelopp

Några exempel på absolutbelopp

Exempel 1 Åldersskillnad

En dejtingsajt på nätet har bestämt sig för att åldersskillnaden mellan två partner ska vara \( \, < \, 6 \, \) år.

I sina webbformulär använder de följande formel som ger utskrifterna till höger

efter att några kunder skickat in sina uppgifter:

\( \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female}\, \)

\( \qquad\qquad \)

\( 25 \quad - \quad 20 \quad = \quad 5 \)

\( 26 \quad - \quad 22 \quad = \quad 4 \)

\( 23 \quad - \quad 30 \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{-7}}} \)

\( \quad \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{ok}}}} \)

Lovisa som sommarjobbar på dejtingsajten konstaterar att den sista utskriften ger fel resultat: Åldersskillnaden är \( \, > \, 6 \, \) år.

Felet beror på att negativ åldersskillnad inte är meningsfull. Åldersskillnad måste alltid vara positiv.

Lovisa som lärt sig absolutbelopp på Matte 3-kursen föreslår att man ändrar formeln. Efter ändringen blir det så här:

\( { \color{Red} |} \, \mbox{Age}_\mbox{male} - \mbox{Age }_\mbox{female} \, { \color{Red} |} \)

\( \qquad\quad \)

\( { \color{Red} |} \, 25 \quad - \quad 20 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 5 \)

\( { \color{Red} |} \, 26 \quad - \quad 22 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 4 \)

\( { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad {\color{Red} {\boxed{7}}} \)

\( \quad \)

\( < \; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm ok} \)

\( {\color{Red} {\bf{>}}} \,\; 6 \quad \Rightarrow \quad {\rm {\color{Red} {\bf{inte\;ok}}}} \)

Nu stämmer det, vilket beror på att Lovisa infogade de två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) i formeln. Detta gav i den sista utskriften:

\[ { \color{Red} |} \, 23 \quad - \quad 30 \, { \color{Red} |} \quad = \quad { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} \quad = \quad 7 \]

\( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) tar bort minustecknet från \( -7\, \) och ger \( 7\, \). Därför: \( { \color{Red} |} \, - 7 \, { \color{Red} |} = 7 \).

De två raka strecken \( \; {\color{Red} |} \, \quad \, {\color{Red} |} \; \) som skrivs kring ett tal eller ett uttryck, kallas för absolutbelopp och betyder:

Att göra om ett negativt tal till ett positivt tal och låta ett positivt tal vara oförändrat.

Kortare: Ett tals absolutbelopp är talets positiva värde, t.ex.:

\[ | \, - 7 \, | \, = \, 7 \]

\[ | \, - 0,5 \, | \, = \, 0,5 \]

\[ \left| \, - \sqrt{5} \, \right| \, = \, \sqrt{5} \]

\( \qquad\quad \)

\[ | \; 23 \; | \, = \, 23 \]

\[ | \, 7,25 \, | \, = \, 7,25 \]

\[ \left| \, 0 \, \right| \, = \, 0 \]

\( \qquad\quad \)

\[ \displaystyle{ \left| \, {13\over 4} \, \right| \, = \, {13\over 4} } \]

\[ \displaystyle{ \left| \, - {2\over 3} \, \right| \, = \, {2\over 3} } \]

\[ \left| \, \sqrt{3} \, \right| \, = \, \sqrt{3} \]

\( \qquad\quad \)

\[ | \, a \, - \, b \, | \, = \, | \, b \, - \, a \, | \] (se Exempel 2)

\[ | \, i \, | \, = \, | \, \sqrt{-1} \, | \, = \, 1 \] (se Exempel 3)

Absolutbelopp lämpar sig för att modellera storheter som till sin natur är positiva som t.ex. åldersskillnad.

Andra exempel är avstånd, längd, area, volym, massa (vikt), tid, lufttryck, vindstyrka, pengar, antal objekt, \( \, \ldots \; \).

Vi tittar närmare på avstånd:

Exempel 2 Avstånd mellan två tal

Vad är avståndet mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \)? Svar: \( \quad 5 \, - \, 2 \, = \, 3 \)

Vad är då avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \)? Gör man samma sak blir svaret: \( \quad -5 \, - \, (-2) \, = \, -5 \, + \, 2 \, = \, -3 \)

Men vi vet att avståndet mellan \( -2 \, \) och \( -5 \, \) är \( 3 \, \) och inte \( -3 \, \). Ett avstånd kan inte vara negativt. Avstånd är alltid positivt.

Korrekt svar:

\[ {\color{Red} |} \, -5 - (-2) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -5 + 2 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} -3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Fortfarande dras talen av från varandra, men absolutbelopp kring subtraktionen gör att resultatet blir positivt.

Kastar vi om talens ordning blir det samma resultat:

\[ { \color{Red} |} \, -2 - (-5) \, { \color{Red} |} \; = \; { \color{Red} |} -2 + 5 \, { \color{Red} |} \, = \, { \color{Red} |} \, 3 \, { \color{Red} |} \; = \; 3 \]

Generellt gäller:

Avståndet mellan talen \( \, a \, \) och \( \, b \, \) är \( \; | \, a - b \, | \; \) eller \( \; | \, b - a \, | \; \).

Det är irrelevant i vilken ordning talen skrivs. Det gäller: \( \quad | \, a - b \, | \, = \, | \, -(b - a) \, | \, = \, | \, b - a \, | \)

Ett specialfall av avståndet mellan två tal är, när det ena talet är \( \, 0 \, \):

Exempel 3 Avstånd från \( \, 0 \, \)

Om vi i den nya definitionen för avstånd \( \, | \, a - b \, | \, \) sätter in \( a = 0 \, \) och \( b = -5 \, \) för att beräkna avståndet mellan \( 0 \, \) och \( -5 \, \) får vi:

\[ | \, 0 - (-5) \, | \, = \, | \, 0 + 5 \, | \, = \, | \, 5 \, | \, = \, 5 \]

Och tar vi \( \, | \, b - a \, | \, \) blir det samma resultat:

\[ | -5 - 0 \, | \, = \, | -5 \, | \, = \, 5 \]

\( 5 \, \) är alltså talet \( \, -5\):s avstånd från \( 0 \, \).

Detta ger oss en ny tolkning av absolutbeloppet som gäller för alla tal, även för komplexa (se exemplet \( | \, i \, | = 1 \) ovan och motivera!):

Ett tals absolutbelopp är talets avstånd från 0.

Alla hittills nämnda tolkningar av absolutbeloppet är utmärkta att använda i många sammanhang och ger oss en bra intuitiv uppfattning av begreppet.

Men de är inga strikt matematiska definitioner och lämpar sig inte t.ex. för att lösa ekvationer eller olikheter som involverar absolutbelopp. Därför:

Allmän definition, funktion och graf

Absolutbeloppet \( \; | \, x \, | \; \) av ett tal \( x\, \) definieras genom:

\[ | \, x \, | \, = \, \begin{cases} \;\, x & \mbox{om } x \geq 0 \\ -x & \mbox{om } x < 0 \\ \end{cases} \]

Grafen till funktionen \( \; y = | \, x \, | \; \) ser ut så här:

\( \qquad \)

Absolutbeloppet är en funktion som är definierad och kontinuerlig för alla \( x \, \).

OBS! I följande exempel ska absolutbelopp bestämmas genom att använda den allmänna definitionen, inte intuitivt.

Exempel 1:

Vad är \( | \, 7 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 7 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 7 \, | = 7\, \).

Svar: \( \; | \, 7 \, | = 7 \).

Exempel 2:

Vad är \( | \, - 5 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = -5 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, - 5 \, | \, = \, -(-5) \, = \, 5 \).

Svar: \( \; | \, - 5 \, | = 5 \).

Exempel 3:

Vad är \( | \, 0 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom \( x = 0 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, 0 \, | = 0\, \).

Svar: \( \; | \, 0 \, | = 0 \).

Exempel 4:

Vad är \( | \, a + 2 \, | \) enligt definitionen ovan?

Eftersom vi inte känner till \( \, a\):s värde och därför inte vet om \( \, a + 2 \) blir positivt eller negativt, måste vi skilja mellan två fall:

Fall 1 \( \quad a + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a \geq -2 \)

Eftersom \( x = a + 2 \geq 0 \) väljs det första alternativet (första raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | = a + 2\, \).

Fall 2 \( \quad a + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad a < -2 \)

Eftersom \( \; x = a + 2 < 0\, \) väljs det andra alternativet (andra raden) i definitionen efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, a + 2 \, | \, = \, -(a + 2) \, = \, -a - 2\, \).

Svar: \( \; | \, a + 2 \, | \, = \, \begin{cases} \;\, a + 2 & \mbox{om } a \geq -2 \\ -a-2 & \mbox{om } a < -2 \\ \end{cases} \)

Exempel 4 visar: Vill man bli av med absolutbeloppstecknen i ett uttryck som involverar obekanta variabler, måste man alltid skilja mellan två olika fall enligt absolubeloppets allmänna definition. Detta kommer vi att göra nu hela tiden när vi löser ekvationer och olikheter som involverar absolutbelopp.

Ekvationer med absolutbelopp

Lös ekvationen \( \; \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \)

Eftersom vi inte känner till \( \, x \, \) måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 \( \quad x + 1 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( x + 1\, \).

Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd. Ekvationen blir:

\[\begin{align} x + 1 & = 3 \\ x & = 3 - 1 \\ x_1 & = 2 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( \, x \geq -1 \).

Men faktiskt är \( 2 \geq -1 \). Därmed kan vi godta denna lösning.

Annars hade den varit en s.k. falsk rot, dvs en beräknad "rot" som inte uppfyller ekvationen.

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller obligatoriska. I nästa uppgift förekommer faktiskt en falsk rot.

Fall 2 \( \quad x + 1 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( -(x + 1) = -x - 1\, \).

Dvs i det här fallet måste vi ersätta \( x + 1\, \) med \( -x - 1\, \), när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

\[\begin{align} -x - 1 & = 3 \\ -3 - 1 & = x \\ -4 & = x \\ x_2 & = -4 \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( \, x < -1\, \).

Men faktiskt är \( -4 < -1\, \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar:

\( x_1 = 2 \quad {\rm och} \quad x_2 = -4 \)

Ekvationens och lösningarnas grafiska tolkning:

Vi ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktioner som står i ekvationens resp. led:

\( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x + 1 \, | \\ \\ y_2 & = 3 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Likheten mellan leden: \( \, | \, x + 1 \, | \, = \, 3 \, \) innebär att ekvationens lösningar är skärningspunkternas \( \, x\)-koordinater.

Graferna visar att det finns två lösningar: två skärningspunkter.

Skärningspunkternas \( \, x\)-koordinater \( \, x_1 = 2\, \) och \( \, x_2 = -4\, \) bekräftar de lösningar vi fått för ekvationen.

Lös ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x\, = \, 1 \)

Eftersom vi inte känner till \( \, x \, \) måste vi skilja mellan två fall, när vi tillämpar absolutbeloppets definition:

Fall 1 \( \; x - 3 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = x - 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} x - 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,x - 3 & = 1 \\ - 3 - 1 & = x \\ - 4 & = x \\ x_1 & = - 4 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( \, x \geq 3 \).

Faktiskt är \( - 4 \not\ge 3 \). Därmed måste vi förkasta denna lösning: \( \quad x_1 = - 4\, \) är en falsk rot.

Fall 2 \( \quad x - 3 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < 3 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = -(x - 3) = -x + 3\, \) och ekvationen blir:

\[\begin{align} -\,x + 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,3\,x + 3 & = 1 \\ 3 - 1 & = 3\,x \\ 2 & = 3\,x \\ {2 \over 3} & = x \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( \, x < 3\, \).

Det stämmer att \( {2 \over 3} \) \( < 3 \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har endast denna lösning.

Svar:

\( \displaystyle x = {2 \over 3} \)

Ekvationens och lösningens grafiska tolkning:

Vi skriver om ekvationen till \( \; | \, x - 3 \, | \, = \, 2\,x \, + \, 1 \; \) och ritar i samma koordinatsystem graferna till de två funktionerna:

\( \qquad\qquad \begin{align} y_1 & = | \, x - 3 \, | \\ \\ y_2 & = 2\,x + 1 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Graferna visar att det finns endast en lösning och deras skärningspunkt \( \displaystyle \, x \approx 0,67 \, = \, {2 \over 3} \, \) bekräftar den lösning vi fått för ekvationen \( \; \, | \, x - 3 \, | - 2\,x \, = \, 1 \; \).

Olikheter med absolutbelopp

Lös olikheten \( \; \, | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \, \) och tolka den grafiskt.

Vad blir olikhetens lösningsmängd?

Fall 1 \( \quad x + 2 \geq 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x \geq -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = x + 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} x + 2 & < 4 \\ x & < 4 -2 \\ x & < 2 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 1:s förutsättning \( \; x \geq -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 1: \( \quad \;\; -2 \leq x < 2\, \)

Fall 2 \( \quad x + 2 < 0 \quad \; \) eller \( \;\quad x < -2 \)

Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 2 \, | = -(x + 2) = -x - 2\, \) och olikheten blir:

\[\begin{align} -\,x - 2 & < 4 \\ -\,4 - 2 & < x \\ -\,6 & < x \\ x & > -\,6 \\ \end{align}\]

Kombinerad med Fall 2:s förutsättning \( \; x < -2 \; \) ger detta:

Svar för fall 2: \( \quad \;\; -6 < x < -2\, \)

Om vi nu sammanfogar Svar för fall 1 med Svar för fall 2 får vi:

Svar:

\( -6 < x < 2 \)

Grafisk tolkning: Vi ritar graferna till olikhetens två funktioner (på varje led) i samma koordinatsystem:

\( \qquad\qquad \begin{align} y & = | \, x + 2 \, | \\ \\ y & = 4 \end{align}\)

\( \qquad\qquad \)

Olikhetens lösning är markerad med rött. Den består av alla \( \, x \, \) för vilka grafen till \( y = | \, x + 2 \, | \)

befinner sig under grafen till \( y = 4\, \) dvs alla \( x \, \) för vilka \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \).

Olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) har lösningsmängden \( \, -6 < x < 2 \, \) som är ett intervall.

I denna uppgift har vi visat:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

I nästa uppgift visas att även det omvända gäller:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftarrow \quad -6 < x < 2 \]

Dvs vi har ekvivalens mellan olikheten och intervallet:

\[ | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \quad \Longleftrightarrow \quad -6 < x < 2 \]

Intervall med absolutbelopp

Vi vänder på förra uppgiftens frågeställning:

Vi antar att vi har intervallet \( \; -6 < x < 2 \; \) och söker olikheten som beskriver detta intervall.

Skriv om intervallet \( \; -6 < x < 2 \; \) till en olikhet med hjälp av absolutbelopp.

Sådana uppgifter löses i två steg:

Hitta intervallets mittpunkt \( \, = \, \) intervallgränsernas medelvärde som vi kallar för \( {\rm M } \).

Hitta intervallets halva längd som vi kallar för intervallets radie och betecknar med \( {\rm r } \).

Då kan intervallet skrivas om till olikeheten: \( | \, x \,- {\rm M } \, | < \, {\rm r } \) .

Låt oss börja med att hitta mittpunkten till intervallet \( \,-6 < x < 2 \, \) som är medelvärdet av \( \,-6 \, \) och \( \, 2 \, \):

\[ {\rm M } = {-6 + 2 \over 2} = {-4 \over 2} = -2 \]

Sedan beräknar vi intervallets halva längd genom dra av intervallgränserna från varandra (oavsett ordning),

dela med 2 och sätta det hela inom absolutbelopp eftersom längd alltid är positiv:

\[ {\rm r } = \left| {-6 - 2 \over 2} \, \right| = \left| {-8 \over 2} \, \right| = | -4 \, | = 4 \]

Därmed kan intervallet skrivas om till olikeheten:

\[ \; | \, x \,- {\rm M } \, | < \, {\rm r } \; = \; | \, x - (-2) \, | < 4 \; \; {\rm dvs} \; \; | \, x + 2 \, | < 4 \]

Svar:

Intervallet \( -6 < x < 2 \, \) kan skrivas om till olikheten \( | \, x + 2 \, | \, < \, 4 \) .

Med de beteckningar som infördes i sista uppgiftens lösning kan vi nu generellt formulera ekvivalensen mellan olikhet och intervall:

\( | \, x - {\rm M } \, | \, < \, {\rm r } \qquad \Longleftrightarrow \qquad {\rm M } - {\rm r } \; < \; x \; < \; {\rm M } + {\rm r } \)

där \( {\rm M } \) är intervallets mittpunkt och \( {\rm r } \) intervallets halva längd eller "radie".

För att beskriva en (sammanhängande) talmängd på talaxeln kan man antingen använda en olikhet med absolutbelopp eller ett intervall.

Intervall och cirkel

Lämnar man den endimensionella talaxeln och går över till det tvådimensionella punktplanet blir intervallet en cirkel.

Cirkelns inre punkter \( \, x \, \) kan beskrivas med samma olikhet som intervallet:

\( | \, x - {\rm M } \, | \, < \, {\rm r } \)

där \( \, {\rm M } \, \) är cirkelns mittpunkt, \( \, {\rm r } \, \) cirkelns radie och \( \, x \, \) alla punkter som har mindre avstånd från mittpunkten än radien.

Härifrån är det enkelt att ställa upp cirkelns ekvation:

\[ | \, x - {\rm M } \, | \, = \, {\rm r } \]

där \( \, x \, \) är alla punkter som har samma avstånd \( \, {\rm r } \, \) från medelpunkten \( \, {\rm M } \).

På så sätt bibehåller absolutbeloppet sin tolkning som avstånd och kan samtidigt generaliseras till avstånd mellan två punkter.

Mera precis borde man tolka punkterna \( \, x \, \) och \( \, {\rm M } \, \) som vektorer från koordinatsystemets origo till resp. punkt och absolutbeloppet som differensvektorn \( \,( \vec{x} - {\rm \vec{M}})\):s längd \( | \, \vec{x} - {\rm \vec{M}} \, | \). Om vektorer repetera Matte 1, där vi hade betecknat en vektor \( \, \vec{x}\,\):s längd med \( \, | \, \vec{x} \, | \).

På liknande sätt kan man gå över till det tredimensionella rummet och betrakta klotet istället för cirkeln. Analogin fortsätter och den matematiska notationen är den samma, även i högre dimensioner än tre. Då ersätts absolutbeloppet av något som kallas för normen och betecknas med \( \; || \, \quad \, || \; \). Även normen kan fortfarande tolkas som en slags abstrakt "längd" eller "avstånd", beroende på sammanhanget.