3.3 Terasspunkter

Genomgång

Även i detta avsnitt antar vi att alla behandlade funktioner \( \; y \, = \, f(x) \; \) skall vara kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.

Vad är en terasspunkt?

Bilden till vänster visar tre punkter där kurvan har tangenter med lutningen \( \, 0 \):

Ett minimum i \( \quad\;\, x = -2 \, \)

En terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)

Ett maximum i \( \quad\, x = 2 \, \)

I minimipunkten \( \;\, x = -2 \, \) gäller: \( \, f\,'(-2) \, = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(-2) \, > \, 0 \), se reglerna.

I terasspunkten \( \, x = 0 \quad \) gäller: \( \, f\,'(0) \quad = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(0) \quad {\color {Red} =} \;\; 0 \).

I maximipunkten \( \, x = 2 \quad \) gäller: \( \, f\,'(2) \quad = \, 0 \quad {\rm och} \quad f\,''(2) \;\; < \;\, 0 \), se reglerna.

Regeln om terasspunkt med derivator

\( f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).

Om \( \, f\,'(a) = f\,''(a) = f\,'''(a) = 0 \, \) kan ingen utsaga göras om punkten \( \, a\):s karaktär.

Endast en korrekt teckenstudie eller ännu högre derivator kan avgöra saken.

Tredjederivatan är inget annat än andraderivatans derivata. Man får den genom att derivera andraderivatan en gång till enligt deriveringsreglerna.

Kritiska punkter

En punkt \( \, x = a \, \) kallas för kritisk punkt om \( \, f\,'(a) = 0 \, \).

En kritisk punkt kan vara ett maximum, ett minimum eller en terasspunkt.

Att vara maximi-, minimi- eller terasspunkt kallas för den kritiska punktens karaktär eller typ.

Exempel på terasspunkt med derivator

Undersök med derivator vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).

Lösning med derivator:

\[\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x\,^3 & & \\ f'(x) & = & 3\,x\,^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\ f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\ f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0 \end{array}\]

Vi ser att \( \, f\,'(0) = f\,''(0) = 0 \, \) och \( \, f\,'''(0) \neq 0 \). Av regeln ovan följer att \( \, f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \) som visas på bilden till vänster.

Bilden i mitten visar att derivatan \( \, f\,'(x) = 3\,x^2 \, \) endast har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \) som är en dubbelrot. Dvs kurvan skär inte \( \, x\)-axeln, utan berör den endast. Med andra ord, derivatan byter inte tecken kring \( \, x = 0 \, \) utan är positiv på båda sidor av \( \, x = 0 \, \). Av detta följer att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande på båda sidor av \( \, x = 0 \, \) \(-\) ett kännetecken för terasspunkter. Generellt gäller:

Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \qquad\;\;\, \Longrightarrow \qquad\quad f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 \; \).

\( f\,(x) \, \) är ett tredjegradspolynom som har en terasspunkt \( \quad \Longrightarrow \quad f\,'(x) \, \) är ett andragradspolynom som

endast har ett nollställe, dvs nollstället är en dubbelrot.

Alternativt till användning av derivator finns det alltid möjligheten att genomföra en teckenstudie för att känna igen en terasspunkt:

Regeln om terasspunkt med teckenstudie

\( f\,'(a) = 0 \; \) och \( \; f\,'(x) \) inte byter tecken kring \( \, x=a \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y = f(x) \; \) har en terasspunkt i \( \; x = a \; \).

Med andra ord, i en terasspunkt \( \, x=a \) måste derivatan vara \( \, 0 \), utan att byta tecken kring \( \, a \), dvs derivatan är antingen positiv eller negativ på båda sidor av \( \, x=a \).

Exempel på terasspunkt med teckenstudie

Undersök med en teckenstudie vilken typ av kritisk punkt funktionen \( \, f(x) = x\,^3 \, \) har i punkten \( \, x = 0 \, \).

Lösning med teckenstudie:

Vi hade redan bestämt att

derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 0 \, \):

\[ f(x) = x^3 \]

\[ f'(x) = 3\,x^2 \]

\[ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 \]

Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 0 \).

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = -0,1 \) och \( \, x = 0,1 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]

\[ f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]

\(x\)	\(-0,1\)	\(0\)	\(0,1\)
\( f\,'(x) \)	\(+\)	\(0\)	\(+\)
\( \,f(x) \)	↗	Terass	↗

Dessa resultat är infogade i teckentabellen till höger som visar:

\( \, f\,'(0) = 0 \, \)
Derivatan har tecknet \(+\) till vänster och även \( + \) till höger om \( \, 0 \, \) dvs derivatan byter inte tecken kring sitt nollställe.

Enligt regeln om terasspunkt med teckenstudie drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).

Avgörande för att teckenstudie är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen vi gjorde inledningsvis, nämligen att \( \; y \, = \, f(x) \; \) är kontinuerlig i alla punkter av det betraktade området.

Hur grafen kan lura oss

Har funktionen

\[ f(x) = x^3 + \, 0,5\,x \]

vars graf visas till vänster en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)?

Kurvan är av samma typ som \( g(x) = x^3 \) till höger.

Ritar man båda funktioners grafer i miniräknarens

display är det svårt att se skillnaden. Slutsatsen att

även \( f(x) \) har en terasspunkt i \( x = 0 \) ligger nära.

Men \( f\,'(0) \neq 0 \) visar att detta inte är fallet:

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0 \end{array}\]

Dvs redan första kravet i regeln om terasspunkt med derivator, nämligen att derivatan ska vara \( \, 0 \, \) för \( \, x = 0 \, \) är inte uppfyllt: \( \, f(x) \, \) har ingen terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Grafen har lurat oss.

Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 0 \, \). Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring \( \, x = 0 \, \):

Bilden till vänster visar funktionens graf samt tangenten till kurvan i \( \, x = 0 \). Tangenten är inte horisontell dvs har inte lutningen \( \, 0 \). I beräkningen ovan hade vi fått: \( f'(x) = 0,5 \neq 0 \). Därmed är även tangentens lutning \( \, 0,5 \, \) och dess ekvation: \( y = 0,5\,x \). Därför föreligger i \( \, x = 0 \, \) inte en terasspunkt.

Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i \( x = 0 \) värdet \( \, 0,5 \, \). Om detta värde hade varit \( \, 0 \, \) hade funktionen haft en terasspunkt i \( x = 0 \).

Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \), där grafen skär \( \, x\)-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från \( \, 0 \, \), men andraderivatan är \( \, 0 \, \). Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara \( \, 0 \, \). Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.

Inflexionspunkter

Om du föreställer dig att du kör bil på S-kurvan på bilden till vänster,

svänger du ratten först till höger tills du kommer till S-kurvans mitt:

\( \, x = 2 \, \). Sedan byter du svängriktning och rattar till vänster.

Punkten i \( \, x = 2 \, \) där du byter svängriktning kallas för inflexionspunkt.

Inflexionspunkter är sådana där kurvan går över från en högersväng

(konkav kurva) till en vänstersväng (konvex kurva) eller tvärtom \(-\)

allt sett från vänster och underifrån.

På bilden finns även tangenten ritad i \( \, x = 2 \, \) vars lutning är negativ.

Hade lutningen varit \( \, 0 \, \) hade \( \, x = 2 \, \) varit en terasspunkt. Därför:

Terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, eftersom kurvan byter alltid svängriktning i en terasspunkt.

Men inte alla inflexionspunkter är terasspunkter. Inflexionspunkter kan ha tangenter med vilken lutning som helst.

Terasspunkter är sådana inflexionspunkter där tangenten har lutningen \( \, 0 \, \).

Pga funktionens kontinuitet finns alltid en inflexionspunkt mellan två extrempunkter.

Regeln om inflexionspunkter

\( f\,''(a) \, = \, 0 \; \) och \( \; f\,'''(a) \, \neq \, 0 \; \quad \Longrightarrow \quad \) Funktionen \( \; y \, = \, f(x) \; \) har en inflexionspunkt i \( \; x = a \; \).

Om dessutom \( \; f\,'(a) \, = \, 0 \; \) är \( \; x = a \; \) en terasspunkt. (Samma som tidigare)

En terasspunkt är alltid en inflexionspunkt, men inte tvärtom.

För att hitta inflexionspunkter ställer man alltså upp andraderivatan, sätter den till \( \, 0 \, \) och beräknar\( \, x \), dvs andraderivatans nollställen. Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från \( \, 0 \, \) för andraderivatans nollställen.

Dessutom gäller det: Om \( \, f\,'''(a) > 0 \, \) är kurvan konkav i \( \, x = a \ ,\) och vi har en övergång från höger- till vänstersväng \(-\) som i grafen ovan. Om däremot \( \, f\,'''(a) < 0 \, \) är kurvan konvex i \( \, x = a \ ,\) och kurvan går över från en vänster- till en högersväng.