1.3 Lösning 8a
För att faktorisera polynomet \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \) beräknar vi dess nollställen\[ 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 \]
För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform\[\begin{align} 9\,x^2 - 6\,x + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 9 \\ x^2-{6\over 9}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ \end{align}\]
Normalformen ger Vietas formler\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = {2\over 3} \\ x_1 \cdot x_2 & = {1\over 9} \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( x_1 = {1\over 3}\,\) och \( x_2 = {1\over 3}\,\) eftersom
\( \begin{align} {1\over 3} + {1\over 3} & = {2\over 3} \\ {1\over 3}\cdot {1\over 3} & = {1\over 9} \end{align}\)
Därför har normalformen \( x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} \) faktoriseringen \( \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \) och därmed det ursprungliga polynomet \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \) följande faktorisering\[ 9 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = 3\cdot \left(x-{1\over 3}\right) \cdot 3 \cdot \left(x-{1\over 3}\right) = \]
- \[ = (3\,x-1)\cdot (3\,x-1) = (3\,x-1)^2 \]
Kontroll\[ (3\,x-1)^2 = 9\,x^2 - 6\,x + 1 \] enligt kvadreringsregeln.
