1.1 Lösning 11

Först förenklar vi ekvationen genom att ordna termerna och bli av med bråken

$$\begin{align} {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 & = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1) & & \qquad \\ {1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 + (x^2 + 4\,x + 1) & = {3\over2} & & \qquad | \cdot 2 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) & = 3 & & \qquad | - 3 \\ (x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 & = 0 \\ \end{align}$$

Nu ser man att uttrycket $x^2 + 4\,x + 1$ förekommer två gånger i ekvationen. Ersätter man det med en ny variabel kan ekvationen förenklas väsentligt. Gör man det på rätt sätt går 4:e gradsekvationen över till en 2:e gradsekvation. Följande substitution åstadkommer detta:

$$t = x^2 + 4\,x + 1$$

Ersätter man i 4:e gradsekvationen $(x^2 + 4\,x + 1)^2 + 2\,(x^2 + 4\,x + 1) - 3 = 0$ enligt substitutionen ovan $x^2 + 4\,x + 1$ med $\displaystyle t$ får man 2:e gradsekvationen $t^2 + 2\,t - 3 = 0$ som kan lösas med pq-formeln:

$$\begin{align} t^2 + 2\,t - 3 & = 0 \\ t_{1,2} & = - 1 \pm \sqrt{1 + 3} \\ t_{1,2} & = - 1 \pm 2 \\ t_1 & = 1 \\ t_2 & = - 3 \\ \end{align}$$

Sätter vi först $t_1 = 1$ tillbaka i substitutionen ovan får vi:

$$\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = 1 & & \qquad\qquad\quad | - 1 \\ x^2 + 4\,x & = 0 \\ \end{align}$$

Eftersom detta är en 2:e gradsekvation som saknar konstant term kan vi genom att bryta ut x på vänsterledet och använda nollproduktmetoden lösa den enkelt:

$$\begin{align} x\;(x + 4) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ x_2 & = - 4 \\ \end{align}$$

Sätter vi sedan $t_2 = - 3$ tillbaka i substitutionen ovan får vi:

$$\begin{align} x^2 + 4\,x + 1 & = -3 & & | + 3 \\ x^2 + 4\,x + 4 & = 0 \\ x_{3,4} & = - 2 \pm \sqrt{4 - 4} \\ x_3 & = - 2 \\ \end{align}$$

Sammanfattningsvis kan vi ange att ekvationen

${1\over2}\,(x^2 + 4\,x + 1)^2 = {3\over2} - (x^2 + 4\,x + 1)$

har lösningarna

$$\displaystyle x_1 = 0$$

$\displaystyle x_2 = -4$

$\displaystyle x_3 = -2$