1.1 Lösning 7

I ekvationen

$2\,\sqrt{x} - x = 1$

inför vi den nya variabeln $t = \sqrt{x}$ (substitution) vilket ger upphov till $t^2 = x\,$ när det hela kvadreras.

Ersätter vi i ekvationen ovan $\sqrt{x}$ med $t\,$ och $x\,$ med $t^2\,$ får vi $$\begin{align} 2\,t - t^2 & = 1 & | \, + t^2 \\ 2\,t & = t^2 + 1 & | -2t \\ 0 & = t^2 - 2 t + 1 \\ t_{1,2} & = 1 \pm \sqrt{1 - 1} \\ t & = 1 \\ \end{align}$$

Sätter vi tillbaka det erhållna resultatet $t = 1\,$ i substitutionen som vi gjorde i början $$1 = \sqrt{x}$$ och kvadrerar båda sidor får vi lösningen $x = 1\,$.

Prövning:

VL $$2\,\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1$$

HL $$\displaystyle 1$$

VL = HL $\Rightarrow\, x = 1$ är rotekvationens lösning.