3.5 Lösning 8c

Vi deriverar målfunktionen:

\[ V(r) \, = \, 30\,\pi\,r^2 \, - 2\,\pi\,r^3 \]

\[ V'(r) \, = \, 60\,\pi\,r \, - \, 6\,\pi\,r^2 \]

\[ V''(r) \, = \, 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\,r \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 60\,\pi\,r \, - \, 6\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 6\,\pi\,r \cdot (10 \, - \, r) & = & 0 \\ & & r_1 & = & 0 \\ & & r_2 & = & 10 \end{array}\]

För \( \, r_1 = 0 \, \) blir volymen \( \, V(0) = 0 \, \) och därmed minimal.

För \( \, r_2 = 10 \, \) ger andraderivatans tecken:

\( V''(10) = 60\,\pi \, - \, 12\,\pi\cdot 10 = 60\,\pi \, - \, 120\,\pi \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, r = 10 \, \).

För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in \( \, r = 10 \, \) i bivillkoret från a):

\( h \, = \, - \, 2\,r \, + \, 30 \, = \, - \, 2 \cdot 10 \, + \, 30 \, = \, 10 \)

Cylinderns volym blir maximal för radien \( \; r = 10 \, {\rm cm} \; \) och höjden \( \; h = 10 \, {\rm cm} \; \).