1.1 Lösning 3b

\(\begin{align} {x + \sqrt{x} \over 7} & = 6 & & | \;\;\;\, \cdot 7 \\ x + \sqrt{x} & = 42 & & | \;\, - x \\ \sqrt{x} & = 42 - x & & | \; (\;\;\;)^2 \\ x & = (42 - x)^2 \\ x & = 1764 - 84\,x + x^2 & & | -x \\ x^2 - 85\,x + 1764 & = 0 \\ x_{1,2} & = 42,5 \pm \sqrt{1806,25 - 1764} \\ x_{1,2} & = 42,5 \pm \sqrt{42,25} \\ x_{1,2} & = 42,5 \pm 6,5 \\ x_1 & = 49 \\ x_2 & = 36 \\ \end{align}\)

Prövning:

Först prövar vi \( x_1 = 49 \):

VL\[ {49 + \sqrt{49} \over 7} = {49 + 7 \over 7 = 56 \over 7 = 8 \]

HL\[ \sqrt{2+7} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2 \]

VL = HL \( \Rightarrow\; x_1 = 2 \) är en sann rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = -3 \):

VL\[ \displaystyle -3 \]

HL\[ \sqrt{-3+7} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\; x_2 = -3 \) är en falsk rot.

Svar: Ekvationen

\[ x = \sqrt{x+7} - 1 \]

har den enda lösningen

\[ \displaystyle x = 2 \]