3.5 Extremvärdesproblem

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion 33 Extremvärdesproblem I

Lektion 34 Extremvärdesproblem II

Exempel 1 Glasskiva

En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:

Ur skivan ska en rektangulär glasplatta skäras ut så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) blir maximal.

a) Ställ upp arean \( \, A(x) \, \) som en funktion som endast beror av \( \, x \, \).

b) Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum.

c) Beräkna glasplattans maximala area.

Lösning:

a)  

Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som:

\[ A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \]

Men här är \( \, A\,(x, {\color{Red} y}) \, \) en funktion av två variabler som vi inte kan jobba med. För att skriva om den till en funktion av endast variabeln \( \, x \, \) måste vi hitta ett samband mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \).

Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa.