3.4 Lösning 4a

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & -\,{x^3 \over 3} \, + \, 2\,x^2 \, - \, 3\,x \, + \, 1 \\ f'(x) & = & -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 \\ f''(x) & = & -2\,x \, + \, 4 \end{array}\]

\[\begin{array}{rcl} -\,x^2 \, + \, 4\,x \, - \, 3 & = & 0 \\ x^2 - 8\,x + 15 & = & 0 \\ \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 & = & 15 \\ x_1 + x_2 & = & -(-8) = 8 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 5 \end{array}\]

Dessa är \( x\)-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

Steg 4   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan:

\( {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, \):

\[ f''(x) \, = \, 6\,x - 24 \]

\[ f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \]

\( {\color{White} x} \qquad \underline{x_2 = 5} \, \):

\[ f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \]

\[ f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \]

Steg 5   Beräkna de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:

\[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]

\[ f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \quad \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]

\[ f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]