3.2 Lösning 11a
Vi inför ett koordinatsystem så att triangelns katet med längden \( b \) faller på \( x\)-axeln och kateten med längden \( a \) på \( y\)-axeln och den räta vinkeln hamnar i origo:
På så sätt blir hypotenusan del av en rät linje med negativ lutning. Vi kallar rektangelns andra sida för \( \, y \,\). Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna rät linje.
Den räta linjens ekvation i \(\,k\)-form:
- \[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]
Lutningen \( \, k \, \):
- \[ k \, = \, {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {a \over b} \]
Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln:
- \[ m \, = \, a \]
Den räta linjens ekvation blir då:
- \[ y \, = \, - \, {a \over b}\,x \, + \, a \]
Denna ekvation kan uppfattas som det samband mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \) som bestäms av att rektangelns "fria" hörn är bunden till rektangelns hypotenusa.
Vi använder sambandet ovan för att ställa upp ett uttryck för arean \( \, A(x) \, \) som endast beror av \( \, x \):
- \[ A(x) \, = \, x \cdot y \, = \, x \cdot (-\,{a \over b}\,x \, + \, b) \, = \, -\,{a \over b}\,x^2 \, + \, a\,x \]
