2.4 Lösning 10b
Eftersom tangenten är parallell till linjen \( y = x - 4\, \) som har lutningen 1, är även tangentens lutningen:
- \[ k \, = \, 1 \]
Å andra sidan har tangenten samma lutning som själva kurvan \( y = f(x) = 2\,x^2 - 3\,x - 4 \) i den okända beröringspunkten \( x \). Kurvans lutning i denna punkt är \( f\,'(x) \). För att få fram \( x\, \) bildar vi derivatan, sätter den till tangentens lutning \( k = 1 \) och beräknar beröringspunkten \( \,x\)-koordinat:
\[\begin{array}{lcll} f(x) & = & 2\,x^2 - 3\,x - 4 \\ f\,'(x) & = & 4\,x - 3 & = & 1 \\ & & 4\,x & = & 4 \\ & & x & = & 1 \\ \end{array}\]
För att få fram beröringspunktens \( \,y\)-koordinat sätter vi \( \,x\)-koordinaten i kurvans ekvation:
- \[ y = f(1) = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 \]
+++ Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]
