1.1 Polynom

Repetition: Algebra

Teori

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt -->

Lektion 1 Polynom

Lektion 2 Polynom: Fördjupning

Innehåll

1 Exempel på polynom
2 Att räkna med polynom
3 Allmän definition
- 3.1 Exempel
- 3.2 Exempel på icke-polynom
4 Ett polynoms nollställen (rötter)
- 4.1 Exempel
5 Internetlänkar

Exempel på polynom

Det kan vara bra att friska upp sina kunskaper om potenser som kommer att användas i detta avsnitt. För att få en repetition om potenser <-- klicka här!

Du kommer väl ihåg från Matte 2c-kursen att uttrycken nedan kallas polynom:

\[ 4\,x + 12 \]

\[ 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

\[ 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6\]

\[ 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9 \]

För läslighetens och strukturens skull brukar man inleda ett polynom med den högsta x-potensen och fortsätta i fallande ordning efter exponenterna.

Uppgift: Utveckla följande uttryck till ett polynom:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) \]

Lösning: Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar x-potenserna i fallande ordning:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \]

Ordet utveckla i exemplet ovan är ett matematiskt begepp och innebär att förenkla ett algebraiskt uttryck, bl.a. lösa upp alla parenteser, sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter x-potenser i avtagande ordning. Om begreppet term se avsnittet Allmän definition längre fram.

Grad

Den högsta förekommande exponenten till x-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets grad.

T.ex. har polynomet \( x^4 - 29\;x^2 + 100 \) graden 4 eftersom den största exponenten till x-potenserna är 4.

I de inledande exemplen ovan har polynomen graderna 1, 2, 3 och 4 i den ordning de är angivna.

Koefficienter

Talen framför \( x\)-potenserna kallas polynomets koefficienter.

T.ex. har polynomet \( 4\,x + 12 \) koefficienterna \(4\,\) och \(12\,\).

Polynomet \( 3\,x^2 + 5\,x - 16 \) har koefficienterna \(3, 5\,\) och \(-16\,\).

Om du undrar varför även konstanterna \( 12\, \) och \( -16\, \) i exemplen ovan anses som koefficienter, fast de inte står framför någon x-potens, i alla fall inte synligt, kom ihåg att \( 12\, \) kan skrivas som:

\[ 12 \cdot x^0 \]

Att man kan göra så beror på att \( x^0 = 1\, \) enligt potenslagarna. Samma sak gäller för \( -16\, \) som också är en koefficient därför att \( -16\, \) kan skrivas som \( -16\,x^0 \).

Annat exempel:

Observera att 4:e gradspolynomet:

\[ x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

har koefficienterna \(1, 0, -29, 0\,\) och \(100\,\). Anledningen till \(0\,\)-koefficienterna är att \(x^3\,\) - och \(x^1\,\) -termerna saknas i polynomet. Dvs man skulle kunna skriva polynomet även så här:

\[ x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 \]

För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda koefficientlistan som en definition på polynomet. Ett polynoms koefficienter definierar nämligen själva polynomet.

Ett polynoms värde

Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för \(x\,\).

Uppgift: Följande polynom är givet:

\[ 8\,x^3 - 4\,x \]

Beräkna polynomets värde för \( x = 0,5\, \).

Lösning: Vi sätter in \( 0,5\,\) för \(x\,\) i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:

\[ 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,\]

Det givna polynomets värde för \( x = 0,5\, \) är \( -1\,\). För andra värden på \(x\,\) kommer polynomet att ha andra värden.

Att räkna med polynom

Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom.

Sats: Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.

Ex.: Två polynom är givna:

\[ 6\,x^2 + 2\,x - 3 \]

\[ -6\,x^2 - 3\,x + 4 \]

Bilda deras summa, differens och produkt.

Summa = resultat av addition:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 = \underline{-\,x\,+\,1} \)

Differens = resultat av subtraktion:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 = \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}\)

Produkt = resultat av multiplikation:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 = \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} \)

Det man gör här hela tiden är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent. Att lösa upp parenteserna innebär i additionsexemplet att ta bort parenteserna utan åtgärd. Vid subtraktion däremot måste man vända om alla förtecken i den parentes som minustecknet står framför, allt enligt algebrans lagar för \( + \) och \( - \) . Vid multiplikation multipliceras varje term i den första parentesen in i den andra parentesen, dvs med alla termer i den, allt enligt algebrans distributivlag.

Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I vårt exempel är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir m + n om faktorernas grader är m och n, vilket är en konsekvens av första potenslagen.

Sats: Kvoten (resultatet av division) av två polynom är i regel inget polynom.

Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.

Det enklaste exemplet är kvoten mellan polynomet \( 1 \, \) (av graden 0) och polynomet \( x \, \) (av graden 1) dvs:

\[ 1 \over x \]

Men detta uttryck är enligt potenslagarna identiskt med:

\[ x^{-1}\, \]

Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polyom får exponenterna till \( x\)-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom - ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.

Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som \( 1 \over x \) är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas rationella uttryck och kommer att behandlas i avsnitt 1.3.

Allmän definition

Ordet poly betyder på latin många och nom betyder term. Så polynom är närmare bestämt en summa av många termer. Ett exempel på term är följande:

\[ 8 \cdot x^3 \]

dvs en konstant gånger en x-potens. Generellt ser en term ut så här:

\[ a \cdot x^n \]

Som en summa av många sådana termer är ett polynom en speciell form av ett algebraiskt uttryck. Generellt har ett polynom av grad \(n\,\) följande form:

\( a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 {\color{White} x} , \quad {\rm där } \quad n\,= {\rm {\color{Red} {positivt\;heltal}}\;eller\;{\color{Red} 0}\,.} {\color{White} {xx}} \)

Koefficienterna \( \, {\color {Red} {a_n}} \) är godtyckliga kända konstanter, medan \(x\,\) är en variabel som kan anta vilka värden som helst. \( a_0\, \) kallas polynomets konstanta term.

Det nedsänkta \(\,{\color {Red} {_n}}\)-et i \(a_n\,\) är en del av beteckningen och kallas index (subscript, skrivet nedsänkt). Indicerade beteckningar används i olika sammanhang, här för att associera koefficienten till \(\,x\)-potensens exponent. Generellt definierar ett polynoms koefficienter själva polynomet.

Enligt definitionen ovan får \(n\,\) och därmed alla exponenter i ett polynom varken vara negativa eller bråk (decimaltal). De måste vara positiva heltal eller 0.

Exempel

5:e gradspolynomet \( x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 - 54\,x + 9 \)

har koefficienterna:

\[a_5 = 1 \; , \qquad a_4 = 3 \; , \qquad a_3 = -8 \; , \qquad a_2 = 0 \; , \qquad a_1 = -54 \; , \qquad a_0 = 9\]

Viktig konvention: Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men som det sades inledningsvis brukar man börja med den term som har den högsta \( x\)-potensen, skriva termerna i avtagande exponentordning och avsluta med den konstanta termen, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur.

Exempel på icke-polynom

Följande uttryck är inga polynom:

\[ 1 \over x \]

\[ \sqrt x \]

\[ a^x \quad , \quad a = {\rm const.} \]

Enligt definition är ett uttryck inget polynom om \( \, x\) har en negativ exponent eller ett bråk som exponent. Det gäller \( 1 \over x \) \( = x^{-1}\, \) och \( \sqrt x = x^{1\over2} \). Därför är de inga polynom. I polynom får inte heller variabeln \( x \) förekomma i exponenten. Därför är \( \, a^x \) inget polynom. Självfallet kan inte heller sådana uttryck som innehåller \( 1 \over x \), \( \sqrt x \) eller \( a^x \) vara polynom.

Ett polynoms nollställen (rötter)

När polynomets värde blir \( 0\,\) kallar man de \( x\,\) för vilka polynomets värde blir \( 0\,\), polynomets nollställen. Nollställe är i polynomsammanhang synonym till rot. Se även rotens olika betydelser.

Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för \( x\,\) och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet \( 0\,\) och beräkna \( x\,\). Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de \( x\,\) för vilka ett polynom av en viss grad blir \( 0\,\). Dessa \( x\,\) är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.

Exempel

Bestäm alla nollställen till polynomet \( 5\,x^2 -\,20\,x \).

Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:

\[ 5\,x^2 -\,20\,x = 0 \]

Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:

\[\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0 \\ x\,(5\,x -\,20) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 5\,x_2 -\,20 & = 0 \\ x_2 & = 4 \\ \end{align}\]

Polynomets nollställen eller rötter är alltså \( x_1 = 0\, \) och \( x_2 = 4\, \).