1.1 Polynom

Repetition: Algebra

Teori

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt -->

Lektion 1 Polynom

Exempel på polynom

Det kan vara bra att friska upp sina kunskaper om potenser som kommer att användas i detta avsnitt. För att få en repetition om potenser <-- klicka här!

Du kommer väl ihåg från Matte 2c-kursen att uttrycken nedan kallas polynom:

\[ 4\,x + 12 \]

\[ 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

\[ 8\,x^3 + 4\,x^2 - 7\,x + 6\]

\[ 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9 \]

För läslighetens och strukturens skull brukar man inleda ett polynom med den högsta x-potensen och fortsätta i fallande ordning efter exponenterna.

Uppgift: Utveckla följande uttryck till ett polynom:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) \]

Lösning: Vi löser upp parenteserna, sammanfogar de termer som går att sammanfoga och ordnar x-potenserna i fallande ordning:

\[ 6\,x^3 - 4\,x^2\,(3\,x + 8) + 2\,x\,(5 + 9\,x) = \,6\,x^3 -\,12\,x^3\,-\,32\,x^2 +\,10\,x\,+\,18\,x^2 = \underline{-6\,x^3 - 14\,x^2 +\,10\,x} \]

Ordet utveckla i exemplet ovan är ett matematiskt begepp och innebär att förenkla ett algebraiskt uttryck, bl.a. lösa upp alla parenteser, sammanfoga alla termer som går att sammanfoga och skriva resultatet som en summa av termer, helst ordnad efter x-potenser i avtagande ordning. Om begreppet term se avsnittet Allmän definition längre fram.

Grad

Den högsta förekommande exponenten till x-potenserna bland polynomets alla termer kallas polynomets grad.

T.ex. har polynomet \( x^4 - 29\;x^2 + 100 \) graden 4 eftersom den största exponenten till x-potenserna är 4.

I de inledande exemplen ovan har polynomen graderna 1, 2, 3 och 4 i den ordning de är angivna.

Koefficienter

Talen framför \( x\)-potenserna kallas polynomets koefficienter.

T.ex. har polynomet \( 4\,x + 12 \) koefficienterna \(4\,\) och \(12\,\).

Polynomet \( 3\,x^2 + 5\,x - 16 \) har koefficienterna \(3, 5\,\) och \(-16\,\).

Om du undrar varför även konstanterna \( 12\, \) och \( -16\, \) i exemplen ovan anses som koefficienter, fast de inte står framför någon x-potens, i alla fall inte synligt, kom ihåg att \( 12\, \) kan skrivas som:

\[ 12 \cdot x^0 \]

Att man kan göra så beror på att \( x^0 = 1\, \) enligt potenslagarna. Samma sak gäller för \( -16\, \) som också är en koefficient därför att \( -16\, \) kan skrivas som \( -16\,x^0 \).

Annat exempel:

Observera att 4:e gradspolynomet:

\[ x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

har koefficienterna \(1, 0, -29, 0\,\) och \(100\,\). Anledningen till \(0\,\)-koefficienterna är att \(x^3\,\) - och \(x^1\,\) -termerna saknas i polynomet. Dvs man skulle kunna skriva polynomet även så här:

\[ x^4 + 0\cdot x^3 - 29\;x^2 + 0\cdot x^1 + 100\cdot x^0 \]

För enkelhetens skull brukar man utelämna de termer som räknemässigt inte bidrar till polynomets värde. Men formellt är de där och bör tas hänsyn till när man räknar upp koefficienterna. På så sätt kan man alltid använda koefficientlistan som en definition på polynomet. Ett polynoms koefficienter definierar nämligen själva polynomet.

Ett polynoms värde

Eftersom ett polynom är en speciell form av ett uttryck är ett polynoms värde inget annat än uttryckets värde. Ett polynom har inget givet värde för sig utan får ett värde för något specificerat värde för \(x\,\).

Uppgift: Följande polynom är givet:

\[ 8\,x^3 - 4\,x \]

Beräkna polynomets värde för \( x = 0,5\, \).

Lösning: Vi sätter in \( 0,5\,\) för \(x\,\) i polynomets alla termer och beräknar polynomets värde:

\[ 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \,\]

Det givna polynomets värde för \( x = 0,5\, \) är \( -1\,\). För andra värden på \(x\,\) kommer polynomet att ha andra värden.

Att räkna med polynom

Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck. Man kan addera, subtrahera och multiplicera polynom med varandra. Resultatet blir ett nytt polynom.

Sats: Summan, differensen och produkten av polynom är alltid ett polynom.

Ex.: Två polynom är givna:

\[ 6\,x^2 + 2\,x - 3 \]

\[ -6\,x^2 - 3\,x + 4 \]

Bilda deras summa, differens och produkt.

Summa = resultat av addition:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 = \underline{-\,x\,+\,1} \)

Differens = resultat av subtraktion:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 = \underline{12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7}\)

Produkt = resultat av multiplikation:

\( (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 = \underline{-36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12} \)

Det man gör här hela tiden är att först lösa upp parenteserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, det är de termer som har samma exponent. Att lösa upp parenteserna innebär i additionsexemplet att ta bort parenteserna utan åtgärd. Vid subtraktion däremot måste man vända om alla förtecken i den parentes som minustecknet står framför, allt enligt algebrans lagar för \( + \) och \( - \) . Vid multiplikation multipliceras varje term i den första parentesen in i den andra parentesen, dvs med alla termer i den, allt enligt algebrans distributivlag.

Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I vårt exempel är faktorerna 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktpolynomets grad blir m + n om faktorernas grader är m och n, vilket är en konsekvens av första potenslagen.

Sats: Kvoten (resultatet av division) av två polynom är i regel inget polynom.

Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom.

Det enklaste exemplet är kvoten mellan polynomet \( 1 \, \) (av graden 0) och polynomet \( x \, \) (av graden 1) dvs:

\[ 1 \over x \]

Men detta uttryck är enligt potenslagarna identiskt med:

\[ x^{-1}\, \]

Man ser att exponenten är negativ. Men i ett polyom får exponenterna till \( x\)-potenserna inte vara negativa. Därför är uttrycket ovan inget polynom - ett exempel på att kvoten av två polynom i regel inte är polynom.

Division av polynom leder oss till en ny klass av uttryck som \( 1 \over x \) är ett exempel på. Denna nya klass av uttryck kallas rationella uttryck och kommer att behandlas i avsnitt 1.3.

Allmän definition

Ordet poly betyder på latin många och nom betyder term. Så polynom är närmare bestämt en summa av många termer. Ett exempel på term är följande:

\[ 8 \cdot x^3 \]

dvs en konstant gånger en x-potens. Generellt ser en term ut så här:

\[ a \cdot x^n \]

Som en summa av många sådana termer är ett polynom en speciell form av ett algebraiskt uttryck. Generellt har ett polynom av grad \(n\,\) följande form:

\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]

där \(n\,\) måste vara ett positivt heltal eller 0. Dvs \(n\,\) och därmed alla termers exponenter får varken vara negativa eller bråk (decimaltal).

Exempel på icke-polynom

Följande uttryck är inga polynom:

\[ 1 \over x \]

\[ \sqrt x \]

\[ a^x \quad , \quad a = {\rm const.} \]

Enligt definition är ett uttryck inget polynom om \( \, x\) har en negativ exponent eller ett bråk som exponent. Det gäller \( 1 \over x \) \( = x^{-1}\, \) och \( \sqrt x = x^{1\over2} \). De är inga polynom pga negativ exponent resp. bråk som exponent. I polynom får inte heller \( x \) förekomma i exponenten. Självfallet kan inte heller sådana uttryck som innehåller \( 1 \over x \), \( \sqrt x \) eller \( a^x \) vara polynom.

Koefficienterna \( \, {\color {Red} {a_n}} \) är godtyckliga kända konstanter, medan \(x\,\) är en variabel som kan anta vilka värden som helst. \( a_0\, \) kallas polynomets konstanta term.

Det nedsänkta \(\,{\color {Red} {_n}}\)-et i \(a_n\,\) är en del av beteckningen och kallas index (subscript, skrivet nedsänkt). Indicerade beteckningar används i olika sammanhang, här för att associera koefficienten till \(\,x\)-potensens exponent.

Generellt definierar ett polynoms koefficienter själva polynomet.

Exempel

5:e gradspolynomet \( x^5 + 3\,x^4 - 8\,x^3 + 12\,x^2 - 54\,x + 9 \)

har koefficienterna:

\[a_5 = 1\,\]

\[a_4 = 3\,\]

\[a_3 = -8\,\]

\[a_2 = 12\,\]

\[a_1 = -54\,\]

\[a_0 = 9\,\]

Konvention: Ur ren beräkningssynpunkt är det irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer. Men som det sades inledningsvis brukar man börja med den term som har den högsta x-potensen, skriva termerna i avtagande exponentordning och avsluta med den konstanta termen, för att höja läsligheten och hålla sig till en bra struktur.

Ett polynoms nollställen

När polynomets värde blir \( 0\,\) kallar man de \( x\,\) för vilka polynomets värde blir \( 0\,\), polynomets nollställen. Till skillnad från polynomets värde där vi satt in ett tal för \( x\,\) och fick ett värde för polynomet, måste vi nu vända på steken och sätta polynomet till värdet \( 0\,\) och beräkna \( x\,\). Det är en mycket svårare uppgift eftersom vi måste lösa en ekvation som i regel är av högre grad. Vi är ju ute efter de \( x\,\) för vilka ett polynom av en viss grad blir \( 0\,\). Dessa \( x\,\) är polynomets nollställen. Därför kan ett polynom ha flera nollställen medan ett polynoms värde är alltid unikt.

Exempel

Bestäm alla nollställen till polynomet \( 5\,x^2 -\,20\,x \).

Att beräkna polynomets nollställen innebär att sätta polynomet till 0 och lösa följande ekvation:

\[ 5\,x^2 -\,20\,x = 0 \]

Eftersom vänsterledet saknar konstant term kan man bryta ut x som är den gemensamma faktorn i båda termer för att sedan kunna använda nollproduktmetoden:

\[\begin{align} 5\,x^2 -\,20\,x & = 0 \\ x\,(5\,x -\,20) & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 5\,x_2 -\,20 & = 0 \\ x_2 & = 4 \\ \end{align}\]

Polynomets nollställen är alltså \( x_1 = 0\, \) och \( x_2 = 4\, \).

Nollställe med grafräknare

Här ska vi lära oss att använda vår grafritande miniräknare för att bestämma ett polynoms nollställe. Detta sker i flera steg:

1) Bestämma lämpliga min-/max-värden för att kunna se polynomfunktionens graf i räknarens displayfönster.

2) Rita grafen och avläsa närmevärden för nollställena från grafen.

3) Använda räknarens ekvationslösare för att utgående från ett närmevärde bestämma nollstället med den noggrannhet som krävs.

Exempel

---

Marie tävlar i simhopp från 10-meterstorn. Hennes hopp följer en bana som beskrivs av funktionen:

\[ y = 10 + 4\,x - 5\,x^2 \]

där y är hennes höjd över vattnet i meter och x är tiden i sekunder efter hon lämnat brädan.

a) Vilken maximal höjd når Marie?

Använd din grafritande räknare för att genomföra följande uppgifter:

b) Undersök vilka min- och max-värden samt vilken skala man lämpligast bör använda på x- och y-axeln för att rita funktionens graf. Ange min-/max-värdena i din räknares WINDOW.

c) Rita funktionens graf i din räknare.

d) När slår Marie i vattnet? Använd din räknares ekvationslösare för att bestämma polynomets nollställe dvs lösa 2:a gradspolynomekvationen:

\[ - 5\,x^2 + 4\,x + 10 = 0 \]

Ange svaret med 4 decimaler.

---

Lösning

a)

Maries bana följer en parabel eftersom den beskrivs av 2:a gradspolynomfunktionen:

\[ y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \]

Eftersom den kvadratiska termen har negativ koefficient är grafen en parabel som är öppen nedåt och har därmed ett maximum. Parabler är alltid symmetriska kring symmetrilinjen som går genom maximipunkten. Så för hitta maximipunkten måste vi ställa upp symmetrilinjens ekvation. Det in sin tur kräver att vi skriver 2:a gradspolynomekvationen ovan i normalform, dvs så att koefficienten till den kvadratiska termen blir 1. Därför:

\[\begin{align} - 5\,x^2 + 4\,x + 10 & = 0 & | \;\; / (-5) \\ x^2 - 0,8\,x - 2 & = 0 \end{align}\]

Detta är normalformen med \( p = -0,8\, \). Formeln för symmetrilinjens ekvation är:

\[ x = -{p \over 2} \]

Därmed blir symmetrilinjens ekvation:

\[ x = -{-0,8 \over 2} = 0,4 \]

Maximipunkten har alltså koordinaterna:

\[\begin{align} x & = 0,4 \\ y & = (- 5) \cdot 0,4\,^2 + 4 \cdot 0,4 + 10 = 10,8 \end{align}\]

Maries maximala höjd blir \( \underline{10,8\,\,{\rm m}}\).

---

b)

Tittar man på Maries bana:

\[ y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \]

kan man se att höjden y är 10 när tiden x är 0. Eftersom både höjden och tiden är positiva kommer banan stanna i koordinatsystemets första kvadrant. Därför är det lämpligt att välja för både x- och y-axelns min-värdet 0:

\[ x_{min}\, = 0 \]

\[ y_{min}\, = 0 \]

Eftersom Marie enligt a) når en maximalhöjd på 10,8 m kan man välja ett lite större max-värde på y-axeln, säg 12. Om x-axeln vet vi bara att symmetrilinjen går genom x = 0,4. Om hon efter 0,4 sek når sin maximala höjd gissar vi att hon slår i vattnet kanske innan 2 sek. Därför:

\[ x_{max}\, = 2 \]

\[ y_{max}\, = 12 \]

Pga de lite annorlunda storleksordningar på x- och y-axeln är det kanske lämpligt att välja skalan 1 på x- och 10 på y-axeln:

\[ x_{scl}\, = 1 \]

\[ y_{scl}\, = 10 \]

Alla dessa värden är inte exakta och kan variera lite beroende på räknarens typ. Samma sak är det med instruktioner som följer.

Hur som helst, tryck på knappen WINDOW i räknaren och ange där inställningarna ovan. Låt resten stå.

---

c)

Nu är vi redo att rita grafen.

Tryck på knappen Y= och skriv in funktionsuttrycket där markören står. Efter inmatningen ska stå där:

Y1=(-)5X^2+4X+10

Tryck på ENTER.

Tryck på knappen GRAPH.

Följande graf borde ritas om allt har gått bra:

Din räknares display har kanske ett lite annorlunda utseende. Men kurvan borde vara den samma. Och fram för allt borde kurvans skärningspunkt med x-axeln visa det samma ungefärliga värdet, nämligen 1,9. Dvs polynomets nollställe är \(\,\approx 1,9 \) eller höjden y är 0 (Marie slår i vattnet) efter \( x\, \approx 1,9 \) sek. Vi kan använda detta närmevärde i nästa steg för att låta kalkylatorn precisera polynomets nollställe.

---

d)

Tryck på knappen MATH.

Gå med piltangentern till Solver...

Tryck på ENTER.

Mata in polynomet där markören står så att det efteråt står följande två rader i displayen:

EQUATION SOLVER

eqn:0=(-)5X^2+4X+10

Tryck först på knappen ALPHA (orange) och sedan på SOLVE (i orange ovanpå ENTER).

Mata in det startvärdet x = 1,9 och tryck en gång till på först ALPHA och sedan SOLVE.

Värdet x = 1,8696938456... visas i displayen vilket betyder:

Marie slår i vattnet efter \( \underline{1,8697\,\,{\rm sek}}\).

Internetlänkar

http://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials.html

http://www.youtube.com/watch?v=IDpnNnjFB1c

http://www.coolmath.com/algebra/algebra-practice-polynomials.html

http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut6_poly.htm

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Polynomials.aspx

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.