1.3 Polynom i faktorform

Teori

Övningar

Vad är en faktor?

Du minns väl att ett uttryck av formen

\[ a \cdot b \]

är en produkt. Ingredienserna \(a\) och \(b\) kallas faktorer. Så länge \(a\) och \(b\) är tal är uttrycket ovan en faktorisering av tal. T.ex. är 3 \(\cdot\) 4 en faktorisering av 12.

En faktorisering av polynom innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Till vänster om likhetstecknet har vi ett vanligt polynom. Till höger står en produkt som kallas polynom i faktorform som är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet är av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Men hur får man fram faktorformen? Eller: Hur faktoriserar man ett polynom?

Faktorisering av polynom

Innan vi besvarar frågan, hur man faktoriserar ett polynom, ska vi titta på likheten ovan mellan polynomet och dess faktorform. Man inser den genom att utveckla produkten:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Sätter man nu detta till 0 visar nollproduktmetoden att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \): För att produkten \( (x-3) (x-4) \) ska vara lika med 0 måste antingen den första faktorn \( (x-3) \) eller den andra faktorn \( (x-4) \) vara lika med 0. För att \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) ska vara lika med 0 måste \( x \) antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \). Pga likheten mellan polynom och dess faktorform måste 3 och 4 även vara polynomets nollställen dvs lösningar till ekvationen \( x^2 - 7\,x + 12 = 0 \). Detta ger oss en metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet: Vi behöver bara beräkna polynomets nollställen, säg x1 och x2, och sedan skriva upp faktorformen så här\[(x-x1) (x-x2) \]. Låt oss genomföra det i vårt exempel:

\[\begin{align} x^2 - 7\,x + 12 & = 0 \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = 4 \\ x_2 & = 3 \\ \end{align}\]

Därför har polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) faktorformen \( (x-3) \cdot (x-4) \). Detta kan generaliseras till alla 2:gradspolynom (i normalform):

Sats:

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

Ett sätt att bevisa satsen ovan är att sätta in lösningsformeln (pq-formeln) för \( x_1\, \) och \( x_2\, \) och utveckla produkten på högerledet. En jämförelse av koefficienter kommer att resultera i likhet med vänsterledet. Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2 som vi inte behandlar här.

Istället ska vi undersöka ett enkelt, men intressant samband mellan 2:a gradspolynomets koefficienter \( p\, \) och \( q\, \) och dess nollställen \( x_1\, \) och \( x_2\, \), vilket ger dig möjligheten att roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp den 2:a gradsekvation vars lösningar just är 3 och 4.

Samband mellan koefficienter och nollställen

Vi åter anknyter till likheten mellan polynom och dess faktorform som vi behandlade ovan (Faktorisering av polynom) genom att utveckla produkten:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Att vi i mellanräkningen, till synes onödigt, skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga sambandet mellan polynomets koefficienter -7 och 12 å ena sidan och dess nollställen 3 och 4 å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till 3 och 4, dvs:

\[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]

På så sätt kan du roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

och låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av följande generell matematisk sats:

Sats:

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Bevis:

Genom att använda satsen som vi formulerade i slutet av förra paragrafen (Faktorisering av polynom) kan vi skriva:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan får vi:

\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 - x_2\,x - x_1\,x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \]

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet på höger sidan och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) ger resultatet:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Vad som skulle bevisas (V.s.b.).

kjbköjböbj