1.3 Polynom i faktorform

Teori

Övningar

Vad är en faktor?

Du minns väl att ett uttryck av formen

\[ a \cdot b \]

är en produkt. Ingredienserna \(a\) och \(b\) kallas faktorer. Så länge \(a\) och \(b\) är tal är uttrycket ovan en faktorisering av tal. T.ex. är 3 \(\cdot\) 4 en faktorisering av 12.

En faktorisering av polynom innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Till vänster om likhetstecknet har vi ett vanligt polynom. Till höger står en produkt som kallas polynom i faktorform som är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet var av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Men hur får man fram faktorformen? Eller: Hur faktoriserar man ett polynom?

Faktorisering av polynom

Innan vi besvarar frågan, hur man faktoriserar ett polynom, ska vi titta på likheten ovan mellan polynomet och dess faktorform. Man inser den genom att utveckla produkten:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Detta visar samtidigt att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \) vilket kan verifieras med nollproduktmetoden: För att produkten \( (x-3) (x-4) \) ska vara lika med 0 måste antingen \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) vara lika med 0. För att \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) ska vara lika med 0 måste \( x \) antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \) och pga likheten mellan polynom och faktorform även polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( x^2 - 7\,x + 12 = 0 \). Detta ger oss en metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet: Vi behöver bara beräkna polynomets nollställen, säg x1 och x2. Sedan kan vi skriva upp faktorformen\[(x-x1) (x-x2) \]. Låt oss genomföra det i vårt exempel: +++

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Att vi i mellanräkningen litet "onödigt" skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi dessutom vill förtydliga följande samband mellan 3 och 4 å ena sidan och polynomets koefficienter å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till 3 och 4, dvs:

\[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]

Du kan alltid roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

och låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av en generell matematisk sats om sambandet mellan ett polynoms rötter och dess koefficienter som