1.3 Polynom i faktorform

Teori

Övningar

Vad är en faktor?

Du minns väl att ett uttryck av formen

\[ a \cdot b \]

är en produkt. Ingredienserna \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Till vänster om likhetstecknet har vi ett vanligt polynom. Till höger står en produkt som kallas polynom i faktorform vars ingredienser är faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \). Men hur får man fram denna faktorform?

Faktorisering av polynom

Likheten ovan mellan polynomet och dess faktorform inser man genom att utveckla produkten:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Detta visar samtidigt att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \) vilket kan verifieras med nollproduktmetoden: För att produkten \( (x-3) (x-4) \) ska vara lika med 0 måste antingen \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) vara lika med 0. För att \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) ska vara lika med 0 måste \( x \) antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \) och pga likheten mellan polynom och faktorform även polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( x^2 - 7\,x + 12 = 0 \). Detta ger oss en metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet: Vi behöver bara beräkna polynomets nollställen och skriva upp faktorformen: (x-första nollstället) (x-andra nollstället). Låt oss genomföra det i vårt exempel: +++

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Att vi i mellanräkningen litet "onödigt" skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi dessutom vill förtydliga följande samband mellan 3 och 4 å ena sidan och polynomets koefficienter å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till 3 och 4, dvs:

\[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]

Du kan alltid roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

och låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av en generell matematisk sats om sambandet mellan ett polynoms rötter och dess koefficienter som