1.3 Polynom i faktorform
| Teori | Övningar |
Du minns väl att ett uttryck av formen
- \[ a \cdot b \]
är en produkt. Ingredienserna \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
Till höger om likhetstecknet står en produkt som kallas polynom i faktorform vars ingredienser är faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \). Detta inser man när man utvecklar produkten:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Att vi i mellanräkningen litet konstigt skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga följande:
3 och 4 är inte bara polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \) (nollproduktmetoden) utan står även i följande samband med polynomets koefficienter: x-termens koefficient -7 är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen 12 är rötternas produkt, dvs:
- \[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]
Det underbara är att detta gäller generellt. Du kan roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]
som har just dessa två tal som lösningar.
