1.3 Polynom i faktorform
| Teori | Övningar |
Vad är en faktor?
Du minns väl att ett uttryck av formen
- \[ a \cdot b \]
är en produkt. Dess ingredienser \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. Ett polynom i faktorform innebär att skriva om ett polynom, som är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
Till höger om likhetstecknet står en produkt av de två faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) som därför kallas polynom i faktorform, vilket man inser när man utvecklar produkten:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Att vi skriver mellanräkningen på det konstiga sättet \(x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4\) beror på att vi vill förtydliga följande underbart samband:
3 och 4 som förekommer i faktorformen är inte bara är polynomets rötter dvs lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \) utan står i följande samband med polynomets koefficienter: Den linjära termens koefficienter är rötternas summa med omvänt förtecken. Den konstanta termen är rötternas produkt:
Det "underbara" är att det inte bara
