1.2 Lösning 11a

$Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b$

$Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0$

$P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0$

Jämförelse av koefficienterna till $x^1$ leder till:

$$\begin{align} - (a+b) & = - 10 \\ a + b & = 10 \\ b & = 10 - a \\ \end{align}$$

Jämförelse av koefficienterna till $x^0$ leder till:

$$a \cdot b = 16$$

Sätter man in i denna relation $b = 10 - a$ får man:

$$\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16 \\ 10\,a - a^2 & = 16 \\ 0 & = a^2 - 10\,a + 16 \\ a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16} \\ a_1 & = 8 \\ a_2 & = 2 \\ \end{align}$$

Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:

$$\begin{align} 8 \cdot b_1 & = 16 \\ b_1 & = 2 \\ 2 \cdot b_2 & = 16 \\ b_2 & = 8 \\ \end{align}$$

Polynomen $P(x)\,$ och $Q(x)\,$ är lika med varandra för $a = 8$ och $b = 2$ och för $a = 2$ och $b = 8$. I båda fall kan vi konstatera följande intressant identitet som direkt leder oss till nästa avsnittet: Polynom i faktorform. Vi har fått fram en faktorisering av polynomet $P(x)\,$

$$P(x) = x^2 - 10 \, x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)$$