1.2 Lösning 11a

\( Q(x) = (x - a) \cdot (x - b) = x^2 - b\,x - a\,x + a\,b = x^2 - (a+b)\cdot x + a\,b \)

\( Q(x) = 1 \cdot x^2 - (a+b) \cdot x^1 + a\,b \cdot x^0 \)

\( P(x) = 1 \cdot x^2 - 10 \cdot x^1 + 16 \cdot x^0 \)

Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \) leder till:

\[\begin{align} - (a+b) & = - 10 \\ a + b & = 10 \\ b & = 10 - a \\ \end{align} \]

Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \) leder till:

\[ a \cdot b = 16 \]

Sätter man in i denna relation \( b = 10 - a \) får man:

\[\begin{align} a \cdot (10 - a) & = 16 \\ 10\,a - a^2 & = 16 \\ 0 & = a^2 - 10\,a + 16 \\ a_{1,2} & = 5 \pm \sqrt{25 - 16} \\ a_1 & = 8 \\ a_2 & = 2 \\ \end{align} \]

Sätter man in dessa värden tillbaka i t.ex. a b = 16 får man:

\[\begin{align} 8 \cdot b_1 & = 16 \\ b_1 & = 2 \\ 2 \cdot b_2 & = 16 \\ b_2 & = 8 \\ \end{align} \]

Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för \( a = 8 \) och \( b = 2 \) och för \( a = 2 \) och \( b = 8 \). I båda fall kan vi konstatera följande identitet\[ P(x) = x^2 - 10 \cdot x + 16 = (x - 2) \cdot (x - 8) = Q(x)\]