1.3 Lösning 12a

Låt oss kalla polynomet \( P(x)\,\):s två nollställen som har samma absolutbelopp, men olika förtecken, för \( a\, \). Detta innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ & = (x^2-a^2) \cdot Q(x) \end{align} \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma\[ Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d \]

Dessutom måste vi bestämma \( a\, \). Då kan vi skriva \( P(x)\,\):s delfaktorisering så här\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) \]

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d \end{align}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} a & = 1 \\ b + 2\,a & = -7 \\ c + 2\,b + a & = 3 \\ 2\,c +b & = 31 \\ c & = 20 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra ekvationen får vi\[ \begin{align} b + 2\cdot 1 & = -7 \\ b + 2 & = -7 \\ b & = -9 \end{align}\]

Genom insättning av \( b = -9\, \) i den tredje får vi\[ \begin{align} c + 2\cdot(-9) + 1 & = 3 \\ c - 18 + 1 & = 3 \\ c - 17 & = 3 \\ c & = 20 \end{align}\]

Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat\[ \begin{align} 2\cdot 20 + (-9) & = 31 \\ 40 - 9 & = 31 \end{align}\]

Och det gör även den femte ekvationen\[ c = 20\, \]

Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 \]

Delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) blir då\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) \]