1.3 Lösning 9

Eftersom \( (x-4)\, \) är en av polymets faktorer kan vi skriva följande ansats\[ x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = {\rm (ett\ 2:a\ gradspolynom)} \cdot (x-4) \]

Vi betecknar det okända 2:a gradspolynomet med \( Q(x)\, \). Den allmänna formen för ett 2:a gradspolynom är\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

där a, b och c är koefficienter som vi måste bestämma. Sätter vi in denna form i ansasten ovan får vi\[ x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = (a\,x^2 + b\,x + c) \cdot (x-4) \]

Vi vet från teoridelen att två polynom är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer. För att kunna genomföra denna jämförelse av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 & = a\,x^3 - 4\,a\,x^2 + b\,x^2 - 4\,b\,x + c\,x - 4\,c = \\ & = a\,x^3 + (b-4a)\,x^2 + (c-4b)\,x - 4c \end{align}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} a & = 1 \\ b - 4\,a & = -9 \\ c - 4\,b & = 26 \\ - 4\,c & = -24 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra ekvationen får vi\[ \begin{align} b - 4\cdot 1 & = -9 \\ b - 4 & = -9 \\ b & = -9 + 4 \\ b & = -5 \end{align}\]

Genom insättning av \( b = -5\, \) i den tredje får vi\[ \begin{align} c - 4\,b & = 26 \\ c - 4\cdot(-5) & = 26 \\ c + 20 & = 26 \\ c & = 6 \end{align}\]

Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat\[ \begin{align} - 4\,c & = -24 \\ - 4\cdot 6 & = -24 \end{align}\]

Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 - 5\,x + 6 \]

För att faktorisera \( Q(x)\, \) sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 5\,x + 6 = 0 \]

Vietas formler ger\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-5) = 5 \\ x_1 \cdot x_2 & = 6 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 2\,\) och \( x_2 = 3\,\) eftersom \( 2 + 3 = 5\,\) och \( 2 \cdot 3 = 6 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 5\,x + 6 \) faktoriseras så här\[ x^2 - 5\,x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) \]

Inför vi nu detta resultat i vår ansats för faktoriseringen för \( P(x)\, \) i början\[ P(x) = x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = Q(x) \cdot (x-4) \]

får vi faktoriseringen för \( P(x)\, \)\[ P(x) = (x^2 - 5\,x + 6) \cdot (x-4) = (x-2)\,\cdot\,(x-3)\,\cdot\,(x-4) \]