1.3 Lösning 8c

För att faktorisera polynomet \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \) beräknar vi dess nollställen\[ 49\,z^2 + 14\,z + 1 = 0 \]

För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform\[\begin{align} 49\,z^2 + 14\,z + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 49 \\ z^2+{14\over 49}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} & = 0 \\ \end{align}\]

Normalformen ger Vietas formler\[ \begin{align} z_1 + z_2 & = - {2\over 7} \\ z_1 \cdot z_2 & = {1\over 49} \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( z_1 = - {1\over 7}\,\) och \( z_2 = - {1\over 7}\,\) eftersom

\( \begin{align} - {1\over 7} - {1\over 7} & = {2\over 7} \\ (-{1\over 7})\cdot(-{1\over 7}) & = {1\over 49} \end{align}\)

Därför har normalformen \( z^2+{2\over 7}\,z+{1\over 49} \) faktoriseringen \( \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \) och därmed det ursprungliga polynomet \( 49\,z^2 + 14\,z + 1 \) följande faktorisering\[ 49 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = 7\cdot \left(z+{1\over 7}\right) \cdot 7 \cdot \left(z+{1\over 7}\right) = \]

\[ = (7\,z+1)\cdot (7\,z+1) = (7\,z+1)^2 \]

Kontroll\[ (7\,z+1)^2 = 49\,z^2 + 14\,z + 1 \] enligt kvadreringsregeln.