1.7 Lösning 6c
- \[ 100\,000 = 325\,000 \cdot (0,83)\,^x \]
- \[\ldots\]
Från modellen:
\[ y = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x \]
får man följande ekvation genom att sätta y till det dubbla av startkaiptalet 12 000 kr:
\[ 24\,000 = 12\,000 \cdot (1,065)\,^x \]
Detta är en exponentialekvation.
\[\begin{align} 12\,000 \cdot (1,065)\,^x & = 24\,000 & &\;| \; /\,12\,000 \\ (1,065)\,^x & = 2 \quad & &: \;\text{Skriv 1,065 och 2 som 10-potenser} \\ (10^{\lg(1,065)})\,^x & = 10^{\lg 2} \quad & &: \;\text{3:e potenslag i VL} \\ 10^{x \cdot \lg(1,065)} & = 10^{\lg 2} \\ \end{align}\]
När två potenser med samma bas är lika med varandra måste deras exponenter vara lika med varandra:
- \[\begin{align} x \cdot \lg(1,065) & = \lg 2 \\ x & = {\lg 2 \over \lg(1,065)} \\ x & = 11,00674 \end{align}\]
För att omvandla decimaldelen av lösningen till månader måste den multipliceras med 12:
- \[ 0,00674 \cdot 12 = 0,08087 \]
Detta blir avrundat 0 månader. Därför:
Startkapitalet kommer att fördubblas efter \( 11\, \) år (och 0 månader).
