1.3.1 Avrundning och värdesiffror

Avrundning & värdesiffror

Avrundning och värdesiffror är ett tillämpande underavsnitt i avsnittet Decimaltal. Övningar till Avrundning och värdesiffror finns bland övningarna till Decimaltal (fliken ovan).

Avrundning

Att avrunda ett decimaltal till \( \, {\color{Red} n} \,\) decimaler innebär att kapa av alla decimaler efter den \( \, {\color{Red} n}\)-te decimalen \(-\) kallad avrundningssiffran \(-\) och tillämpa avrundningsregeln:

Avrundningsregeln:

Om siffran efter avrundningssiffran är:

\( 0, \, 1, \, 2, \, 3 \; {\rm eller} \; 4 , \quad {\rm bibehåll\;\;avrundningssiffran,\;\;dvs\;\;avrunda\;\;nedåt.} \)

\( 5, \, 6, \, 7, \, 8 \; {\rm eller} \; 9 , \quad {\rm höj\;\;avrundningssiffran\;\;ett\;\;steg,\;\;dvs\;\;avrunda\;\;uppåt.} \quad \)

Meningen med denna regel är att avrunda ett decimaltal till det önskade antalet decimaler så att avrundningsfelet blir så litet som möjligt. Avrundningsfelet är det fel som uppstår när man kapar av decimalerna efter avrundningssiffran.

Observera att det enligt regeln ovan även avrundas uppåt när siffran efter avrundningssiffran är \( \, 5 \, \) fast avrundningsfelet vore lika stort om det avrundades nedåt (om alla siffror efter \( \, 5 \, \) vore nollor).

Exempel 1

Skriv \( \; \displaystyle{2 \over 3} \; \) till decimaltal, avrundat till \( \, {\color{Red} 2} \,\) decimaler. Ange avrundningsfelet. Jämför med felet utan avrundning och dra slutsats.

Lösning:

\( \displaystyle{2 \over 3} \; = \; 2 \cdot \; \) \( \displaystyle{1 \over 3} \) \( \; = \; 2 \cdot \; \) \( \, 0,333\,333\,\ldots \) \( \; = \; 0,6{\color{Red} 6} 6\,666\,\ldots \; \approx \; \underline{0,6{\color{Red} 7}} \)

Avrundningsfelet:\(\qquad 0,6{\color{Red} 7} \, - \, 0,6{\color{Red} 6} 6\,666\,\ldots \; =\quad\,0,003\,333\,\ldots \; \approx\quad3,3 \cdot 10^{-3} \)

Felet utan avrundning: \( \, 0,66 \, - \, 0,666\,666\,\ldots \; = \; -0,006\,666\,\ldots \; \approx \; -6,6 \cdot 10^{-3} \)

Slutsats: Felet utan avrundning är (bortsett från tecknet) dubbelt så stort som avrundningsfelet.

Avrundningssiffran är markerad med rött. Symbolen \( \, \approx \, \) betyder ungefär lika med.

Exempel 2

Avrunda \( \; 257,463 \; \) till:

a) En decimal (tiondelar).

Lösning: Avrundningssiffran är \( \, 1\):a decimalen \( \, {\color{Red} 4} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 6 \). Därför: \( \; 257,{\color{Red} 4}63 \; \approx \; \underline{257,{\color{Red} 5}} \)

b) Hundradelar (två decimaler).

Lösning: Avrundningssiffran är \( \, 2\):a decimalen \( \, {\color{Red} 6} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 3 \). Därför: \( \; 257,4{\color{Red} 6}3 \; \approx \; \underline{257,4{\color{Red} 6}} \)

c) Heltal.

Lösning: Avrundningssiffran är entalet \( \, {\color{Red} 7} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 4 \). Därför: \( \; 25{\color{Red} 7},463 \; \approx \; \underline{25{\color{Red} 7}} \)

d) Tiotal.

Lösning: Avrundningssiffran är tiotalet \( \, {\color{Red} 5} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 7 \). Därför: \( \; 2{\color{Red} 5}7,463 \; \approx \; \underline{2{\color{Red} 6}0} \)

Exemplen ovan visar att det även finns andra sätt att hänvisa till avrundningssiffran än med antal decimaler.

Vid avrundning av heltal, ex. 2 c)-d), måste avrundningsregeln användas med sunt förnuft.

Att avrunda till t.ex. heltal, tiotal, hundratal, ... betyder alltid till närmaste heltal, tiotal, hundratal, ... . Här två exempel till:

Exempel 3

Avrunda till hundratal:

a) \( 472 \)

Lösning: Avrundningssiffran är hundratalet \( \, {\color{Red} 4} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 7 \). Därför: \( \; {\color{Red} 4}72 \; \approx \; \underline{{\color{Red} 5}00} \)

b) \( 6\,851 \)

Lösning: Avrundningssiffran är hundratalet \( \, {\color{Red} 8} \). Siffran efter avrundningssiffran är \( \, 5 \). Därför: \( \; 6\,{\color{Red} 8}51 \; \approx \; \underline{6\,{\color{Red} 9}00} \)

OBS! Nollorna i svaren till ex. 2 d) och 3 a)-b) är väsentliga (signifikanta) och får inte utelämnas för att bibehålla de andra siffrornas värden. Med andra ord:

OBS! Decimaltecknets position får inte rubbas.

Värdesiffror

Resultatet av en avrundning är ett s.k. närmevärde. T.ex. är \( \, 3,14 \, \) ett närmevärde till talet \( \, \pi \) vars exakta värde aldrig kan anges numeriskt, för det har oändligt många decimaler: \( \pi \) är ett irrationellt tal.

I regel är de flesta i praktiken använda decimaltal närmevärden. När vi i detta avsnitt pratar om tal menar vi alltid ett närmevärde dvs ett korrekt avrundat tal.

De siffror i ett tal som är exakta eller korrekt avrundade kallas för

värdesiffror eller

gällande siffror eller

signifikanta siffror

Värdesiffror är de siffror i ett tal som man kan lita på \(-\) ett mått på talets noggrannhet.

Exempel 4

Tal	Antal värdesiffror
a) \( \, 3,14 \, \)	Tre
b) \( \, 0,05 \, \)	En
c) \( \, 0,072 \, \)	Två
d) \( \, 0,00403 \, \)	Tre
e) \( \, 1,006 \, \)	Fyra

I tabellen ovan, raderna b)-d) är de inledande nollorna inga värdesiffror, för de är endast till för att placera decimaltecknet och positionera de andra siffrorna.

Slutsats:

De inledande nollorna i ett decimaltal är inga värdesiffror.

Exempel 5

Hur många värdesiffror har talet \( \; 0,0720 \; \)? Motivera ditt svar och dra slutasats.

Svar:

Tre värdesiffror.

Motivering:

Nollan i slutet av \( \, 0,0720 \, \) är \(-\) när den anges \(-\) antingen exakt eller resultat av korrekt avrundning.

T.ex kan talet vara resultat av avrundning:

\( \; 0,072{\color{Red} 0}1 \; \approx \; 0,072{\color{Red} 0} \; \) eller

\( \; 0,072{\color{Red} 1}9 \; \approx \; 0,072{\color{Red} 0} \; \)

Slutsats:

Nollor i slutet av ett korrekt avrundat decimaltal är alltid värdesiffror.

Det finns fall där antalet värdesiffror beror på hur talet avrundats.

Exempel 6

Hur många värdesiffror har talet \( \; 500 \; \)?

Svaret är inte entydigt utan beror på hur avrundningen har skett.

Svaret Fall 1: Om \( \, 50{\color{Red} 0} \, \) är avrundat till ental har talet tre värdesiffror. Man kan lita på alla tre siffror.

Svaret Fall 2: Om \( \, 5{\color{Red} 0}0 \, \) är avrundat till tiotal har talet två värdesiffror. Man kan lita på de första två siffrorna.

Svaret Fall 3: Om \( \, {\color{Red} 5}00 \, \) är avrundat till hundratal har talet en värdesiffra. Man kan lita endast på den första siffran.

Avrundningssiffran är markerad med rött.

Till hur många decimaler ska man avrunda ett decimaltal?

Svaret på denna fråga beror ofta på praktiska omständigheter. Man borde resonera kring rimligheten utgående från uppgiftens verkliga bakgrund.

Handlar det t.ex. om pengar, är det orimligt att avrunda till fler än två decimaler.

Handlar det om vikten av t.ex. potatis är det kanske rimligt att avrunda till hela kg, medan t.ex. för ost eller skinka skulle man \(-\) som det är bruk \(-\) avrunda till tiodelar av kg (dvs till hg = hektogram eller hekto = \( \, 100 \, \)g).

Exemplet ovan visar att valet av enhet kan vara av betydelse för avrundningsgraden.

Ofta sätter mätinstrument gränser för hur noggrant det är rimligt att ange ett mätresultat. Då borde avrundningsgraden ta hänsyn till denna gräns.

Vid rent numeriska beräkningar borde man se upp att man inte "skänker" bort decimaler i onödan när slutresultatet kräver en viss precision.

Annars ska vi alltid hålla oss till uppgiftens krav på antalet decimaler om ett sådant krav har angetts.

Internetlänkar

http://www.elevspel.se/amnen/matematik/299-avrundning.html

http://www.rasmus.is/sv/t/u/st22k01.HTM

http://matmin.kevius.com/avrund.php

https://www.youtube.com/watch?v=M5A7j77Y3nk