3.4 Kurvkonstruktioner
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Fortfarande förutsätts att alla funktioner \( \; y \, = \, f(x) \; \) vi behandlar här är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.
Sammanfattning av lokala minimi- och maximipunkter, terasspunkter samt inflexionspunkter
- Översikt över punkter som kan identifieras med derivator:
- Med Min och Max i sammanfattningen ovan menas lokal minimi- och maximipunkt.
Största och minsta värden: globala maxima och minima
I avsnittet om Lokala maxima och minima hade vi tittat på sådana punkter som hade maximala och minimala \( \, y\)-värden i sin närmaste omgivning, därför "lokala", se bilden till höger.
I detta avsnitt ska vi betrakta sådana punkter som har största och minsta \( \, y\)-värden i ett intervall, därför "globala", se bilden till vänster.
 |
Globala maxima och minima är en funktions största och minsta värden
globalt dvs i ett intervall, närmare bestämt: Med globala maxima och globala minima menas punkter som har största resp. minsta \( \, y\)-värden i funktionens hela definitionsområde. På bilden till vänster visas de med • . Funktionens största värde är \( \, 30 \, \) och dess minsta värde är \( \, -5 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden).
minima eller i intervallets ändpunkter.
att de ev. är identiska med funktionens lokala extrema. I ett mindre intervall blir exemplets lokala extrema, även globala. |
 |
Gör så här för att hitta en funktions globala maxima och minima:
- Hitta funktionens lokala extrema med reglerna om max/min med andraderivatan eller teckenstudie.
- Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater.
- Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
- Jämför de lokala extremvärdena med funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter.
Exempel på en fullständig kurvkonstruktion
Följande funktion är definierad i angivet intervall:
\( f(x) \, = \, x^3 \, - \, 12\,x^2 \, + \, 45\,x \, - \, 44 \qquad \) i intervallet: \( \qquad 1 \leq x \leq 7 \)
a) Undersök algebraiskt om \( \,f(x) \, \) har några lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter. Om ja, ange deras koordinater.
b) Bestäm funktionens största och minsta värden i definitionsintervallet.
c) Skissa för hand det ungefärliga förloppet till \( \, f(x) \, \) utgående från information från a) och b).
d) Kontrollera dina resultat genom att rita grafen till \( \, f(x) \, \) med grafräknaren.
e) Undersök om \( \,f(x) \, \) har en inflexionspunkt. Om ja, hitta den och ange dess koordinater.
Lösning: a) Lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter (i 4 steg):
| Steg 1 Derivera \( \, f(x) \, \) två gånger:
|
\( \quad \) | \(\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\ f''(x) & = & 6\,x - 24 \end{array}\) |
Steg 2 Sätt derivatan till \( \, 0 \, \) och lös ekvationen, dvs beräkna derivatans nollställen:
| \( \qquad\;\; \begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0 \\
x^2 - 8\,x + 15 & = & 0 \\
\end{array}\)
|
\( \quad \) | Vieta:
|
\( \quad \) |
\( \begin{array}{rclclcl} x_1 \cdot x_2 & = & q & & & = & 15 \\ x_1 + x_2 & = & -p & = & -(-8) & = & 8 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 5 \end{array}\) |
\( \qquad\quad x_1 = 3 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \) är \( x\)-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.
Steg 3 Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan och använd reglerna om max/min samt regeln om terasspunkt:
| \( \qquad\quad \underline{x_1 = 3} \, \):
|
\( \quad \) |
\[ f''(x) \, = \, 6\,x - 24 \] \[ f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \] |
| \( \qquad\quad \underline{x_2 = 5} \, \):
|
\( \quad \) |
\[ f''(5) \, = \, 6\cdot 5 - 24 = 6 > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 5 \quad {\rm lokalt\;minimum.} \] \[ f''(3) \neq 0 \quad {\rm och} \quad f''(5) \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \, {\rm har\;inga\;terasspunkter.} \] |
Steg 4 Beräkna de lokala maximi- och minimipunkternas \( y\)-koordinater:
- \[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
- \[ f(3) \, = \, 3^3 - 12\cdot 3^2 + 45\cdot 3 - 44 = 10 \; \Longrightarrow \quad (3, 10) \quad {\rm är\;lokal\;maximipunkt.} \]
- \[ f(5) \, = \, 5^3 - 12\cdot 5^2 + 45\cdot 5 - 44 = 6 \quad \Longrightarrow \quad\; (5, 6) \quad {\rm är\;lokal\;minimipunkt.} \]
b) Största och minsta värden: Beräkna funktionsvärdena i definitionsintervallets ändpunkter \( \, 1 \, \) och \( \, 7 \) och
- jämför dem med de lokala extrempunkternas \( y\)-koordinater:
- \[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
- \[ f(1) \, = \, 1^3 - 12\cdot 1^2 + 45\cdot 1 - 44 = -10 \]
- \[ f(7) \, = \, 7^3 - 12\cdot 7^2 + 45\cdot 7 - 44 = 26 \]
- Lokala minimivärdet var \( \, 6 \, \), se a), steg 4.
- \[ -10 \, < \, 6 \quad \Longrightarrow \quad -10 \quad {\rm är\;funktionens\;minsta\;värde:\;globalt\;minimum.} \]
- Lokala maximivärdet var \( \, 10 \, \), se a), steg 4.
- \[ 26 \, > \, 10 \quad \Longrightarrow \quad 26 \quad {\rm är\;funktionens\;största\;värde:\;globalt\;maximum.} \]
- De globala extremvärdena \( \, -10 \, \) och \( \, 26 \) antas av funktionen i definitionsintervallets ändpunkter
- därför att intervallet \( \, 1 \leq x \leq 7 \, \) är slutet, dvs ändarna tillhör intervallet.
c) Skiss: Resultaten från a) om lokala och från b) om globala extrema ger följande skisser:
- Förutsätts kontinuitet hos \( \, f(x) -\) vilket vi kan göra pga att \( f(x) \) är en polynomfunktion \(-\) kan vi
- förbinda kurvsnuttarna från den högra bilden ovan till den kontinuerliga skissen till vänster nedan:
|
|
\( \qquad\qquad\qquad \) | d) Kontroll: Grafräknaren ger:
|
e) Inflexionspunkt: Sätt andraderivatan till \( \, 0 \, \) och lös ekvationen:
\( \qquad\;\; \begin{array}{rcl} f\,''(x) \, = \, 6\,x - 24 & = & 0 \\ x & = & 4 \\ \end{array}\)
- Sätt in andraderivatans nollställe i tredjederivatan och använd regeln om inflexionspunkter:
- \[ f\,'''(x) \, = \, 6 \]
- \[ f\,'''(4) \, = \, 6 \, \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \quad {\rm är\;en\;inflexionspunkt.} \]
- Beräkna inflexionspunktens \( y\)-koordinat:
- \[ f(x) \, = \, x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \]
- \[ f(4) \, = \, 4^3 - 12\cdot 4^2 + 45\cdot 4 - 44 = 8 \quad \Longrightarrow \quad {\rm Inflexionspunkten\;har\;koordinaterna} \; (4, 8)\,. \]
När saknas globalt extremum?
En funktion behöver inte nödvändigtvis ha extrema, varken lokala eller globala.
Detta kan hända när man letar efter globala extrema där man förväntar dem, t.ex. i definitionsintervallets ändpunkter. Det ser ut så \(-\) t.ex. i grafen \(-\) som om funktionen antog sina största (eller minsta) värden i intervallets ändpunkter. Att det inte behöver vara så visar följande exempel:
ExempelFöljande funktion är definierad i det angivna intervallet: \( y = f(x) = x^2 \; \) Definitionsmängden: \( \; -2 < x < 2 \)
|
OBS! Intervallets ändpunkter är inte inkluderade i funktionens definitionsmängd.
Dvs \( \, f(x) \, \) är inte definierad i ändpunkterna \( \, x = 2 \, \) och \( \, x = -2 \). Grafen till vänster visar detta genom de ihåliga ringarna i kurvans ändpunkter. \( \, f(x) \, \) har i \( \, x = 0 \, \) ett lokalt minimum som är även funktionens globala minimum. Däremot kan man inte ange något globalt maximum för \( \, f(x) \, \), av följande skäl: Om man t.ex. påstår att \( \, f(1,99) \, \) är funktionens största värde, är \( \, f(1,999) \, \) ännu större. Om man påstår att \( \, f(1,999) \, \) är största värdet, är \( \, f(1,9999) \) ännu större osv. Denna process har ingen ända. Samma sak gäller även för \( \, f(-1,99\ldots) \). Varken \( \, f(2) \, \) eller \( \, f(-2) \, \) kan vara globala maxima, för båda är inte definierade. Slutligen kan man inte hitta något största värde. Man drar slutsatsen:
Globalt maximum saknas. |
Att globalt maximum saknas har i detta exempel inte med funktionens utan snarare med definitionsmängdens egenskaper att göra.
Man säger: Definitionsintervallet \( \; -2 < x < 2 \; \) är öppet, dvs ändarna tillhör inte intervallet.
Hade \( f(x) \) däremot varit definierad t.ex. i det slutna intervallet: \( -2 \leq x \leq 2 \;\; \) hade \( \; f(2) \, = \, f(-2) \, = \, 4 \; \) varit funktionens globala maximum.
Ett intervall \( \, a < x < b \, \) där ändarna \( \, a \, \) och \( \, b \, \) inte tillhör intervallet, kallas för öppet, annars för slutet.
En funktion som är definierad i ett öppet intervall har inga globala extrema i definitionsintervallets ändpunkter.
I så fall kan globala extrema, om de existerar, sammanfalla med de lokala extrema eller saknas. I exemplet ovan sammanfaller funktionens globala minimum med dess lokala minimum i \( \, x = 0 \). Men funktionen saknar globalt maximum.
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
