Potenser

<-- Till Polynom

Genomgång

Övningar

Hur räknar du?

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\quad Vanligt\,fel:}}} \quad\; 2\,^3 \; = \; 6 \]

\[ \qquad\quad\;\, {\rm Rätt:} \qquad\qquad\! 2\,^3 \; = \; 2 \cdot 2 \cdot 2 \; = \; 4 \cdot 2 \; = \; 8 \]

Men varför är \( \, 8 \, \) rätt och \( \, 6 \, \) fel?

Om du lärt dig räkneordning vet du att räkneordningen inte alltid följer skrivordningen utan snarare följande regel:

Potensbegreppet

Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.

Om exponenten \( x\, \) är ett positivt heltal och basen \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:

\( a^{\color{Red} x} = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{{\color{Red} x}\;\times} \)

Exempel:

\( a^2 = a \cdot a \)

\( a^3 = a \cdot a \cdot a \)

Om vi nu multiplicerar dessa två potenser med varandra och använder potensens definition, får vi:

\( a^2 \cdot a^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{{\color{Red} 5}\;\times} \; = \; a^{\color{Red} 5}\)

Vi kan sammanfatta till:

\( a^2 \cdot a^3 \; = \; a^{2+3} = \; a^5\)

Detta är ett exempel på en allmän lag, den första potenslagen. Det finns flera sådana:

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( \, x \, \) och \( \, y \, \) rationella tal (bråktal) och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)):

Första potenslagen: \( \qquad\qquad\quad\;\, a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \qquad\qquad \)

Andra potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad\quad \displaystyle {a^x \over a^y} \; = \; a\,^{x \, - \, y} \qquad\qquad \)

Tredje potenslagen: \( \qquad\qquad\qquad \displaystyle {(a^x)^y} \; = \; a\,^{x \, \cdot \, y} \qquad\qquad \)

Lagen om nollte potens: \( \qquad\qquad\qquad\! a\,^0 \; = \; 1 \qquad\qquad \)

Lagen om negativ exponent: \( \qquad\qquad a\,^{-x} \; = \; \displaystyle {1 \over a\,^x} \qquad\qquad \)

Lagen om rationell exponent: \( \qquad\qquad a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \qquad\qquad \)

Specialfall \(m=1\) (\(n\)-te roten): \( \qquad\qquad a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \qquad\qquad \)

För enkelhets skull definierades potensbegreppet inledningsvis endast för positiva heltalsexponenter \( \, x \, \) och \( \, y \). Men potenslagarna gäller även för negativa och rationella exponenter som behandlas längre fram.

Bevis av några potenslagar

Påstående (Första potenslagen):

\( a^x \cdot a^y \; = \; a\,^{x \, + \, y} \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:

\( a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x\;\times} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y\;\times} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{{\color{Red} {x+y}}\;\times} \; = \; a^{{\color{Red} {x+y}}} \)

Påstående (Lagen om nollte potens):

\( a^0 \; = \; 1 \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda andra potenslagen:

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; a^{x-x} \; = \; a^0 \)

Å andra sidan vet vi att ett bråk med samma täljare som nämnare har värdet \( \, 1 \):

\( \displaystyle{a^x \over a^x} \; = \; 1 \)

Av raderna ovan följer påståendet:

\( a^0 \; = \; 1 \)

Potenser med negativa exponenter

Påstående (Lagen om negativ exponent):

\( a^{-x} = \displaystyle{1 \over a^x} \)

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda den ovan bevisade lagen om nollte potensen (baklänges) samt andra potenslagen:

\( \displaystyle{1 \over a^x} \; = \; \displaystyle{a^0 \over a^x} \; = \; a^{0-x} \; = \; a^{-x} \)

Vi får påståendet, fast baklänges.

Exempel på potenser med negativa exponenter

\[ \;\; a^{-1} = {1 \over a^1} = {1 \over a} \]

\[ \;\; a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} \]

\[ \;\; a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} \]

Att potenser med negativa exponenter är en naturlig fortsättning på potenser med positiva exponenter med nollte potensen däremellan illustrerar följande exempel:

Varför är \( \; 5\,^0 \, = \, 1 \; \)?

\[ \;\; 5^4 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^3 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^2 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \cdot 5 \]

\[ \;\; 5^1 \; = \; {\color{Red} 1} \cdot 5 \]

\[ \;\; {\color{Red} {5^0 \; = \; 1}} \]

\[ \;\; 5^{-1} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5} \]

\[ \;\; 5^{-2} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-3} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5} \]

\[ \;\; 5^{-4} \; = \; \displaystyle{{\color{Red} 1} \over 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 } \]

Att \( \; {\color{Red} 1} \)-orna följer med hela tiden beror på att multiplikationens enhet är \( \, {\color{Red} 1} \), dvs \( \, a \cdot {\color{Red} 1} \, = \, a \). Därför blir endast \( \, {\color{Red} 1} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5^0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.

Jämför med:

Varför är \( \; 5 \cdot 0 \, = \, 0 \; \)?

\[ \;\; 5 \cdot 4 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 3 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 2 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 + 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot 1 \; = \; {\color{Red} 0} + 5 \]

\[ \;\; {\color{Red} {5 \cdot 0 \; = \; 0}} \]

\[ \;\; 5 \cdot (-1) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-2) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-3) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 \]

\[ \;\; 5 \cdot (-4) \; = \; {\color{Red} 0} - 5 - 5 - 5 - 5 \]

Att \( \; {\color{Red} 0} \)-orna följer med hela tiden beror på att additionens enhet är \( \, {\color{Red} 0} \), dvs \( \, a + {\color{Red} 0} \, = \, a \). Därför blir endast \( \, {\color{Red} 0} \, \) kvar, när vi kommer till \( \, {\color{Red} {5 \cdot 0}} \, \) då alla \( \, 5\)-or har försvunnit.

Potenser med rationella exponenter

Potenser med rationella exponenter är bara ett annat sätt att skriva (högre) rötter.

Påstående (\( n\)-te roten):

\( a^{1 \over n} \; = \; \sqrt[n]{a} \; \) \( , \qquad n\neq 0 \)

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( n=3 \), multiplicerar \( a \)\(^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \)

Definitionen för 3:e roten ur \( a \) är:

\( \qquad\quad \displaystyle \sqrt[3]{a} \; = \; \) Tal som 3 gånger multiplicerat med sig själv ger \( a \).

Men enligt ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger \( a \), just \( a \) \(^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur \( a \):

\( \displaystyle a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \)

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \):

Påstående (Rationell exponent):

\( a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \)

Potensekvationer

Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) .

Funktioner av typ \( y = x^3\, \) kallas potensfunktioner, generellt \( \; y = c \cdot x^b\, \).

Ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) kallas potensekvationer, generellt \( \; x^b\, = c \).

I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Potensekvationer löses genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med rationell exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen ovan visar att rötter även kan uppfattas och skrivas som potenser med rationella exponenter.