2.5 Fördjupning till Deriveringsregler
| <-- Förra demoavsnitt | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Diagnosprov kap 2 --> |
Lektion 19 Deriveringsregler I
Lektion 20 Deriveringsregler II
Bevis av deriveringsreglerna
Att använda deriveringsreglerna är en sak, att bevisa dem en annan.
Av praktiska skäl behandlas användningen och beviset av deriveringsreglerna separat, för att underlätta den direkta användningen av reglerna i övningar, prov osv. utan att behöva tillämpa derivatans definition. Vill man däremot förstå varför reglerna gäller och hur de kommer till, borde man studera detta avsnitt.
Faktiskt ingår härledningen av deriveringsreglerna i Skolverkets kursplan för Matematik 3c och syftar åt att få en förståelse för matematiken bakom reglerna och kunna klara av uppgifter som kräver gränsövergången med Limes.
Det som kommer att ligga till grund för alla våra bevis i detta avsnitt är derivatans definition som vi hade ställt upp i förra avsnitt:
Derivatans definition:
Om \( \;\; y \,=\, f(x) \)
då \( \;\; y\,' \,=\, f\,'(x) \,=\, \displaystyle \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} \)
Derivatan av en konstant
Påstående:
Derivatan av en konstant är 0.
Om \( {\color{White} x} f(x) = c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.} \)
då \( {\color{White} x} f\,'(x) = 0 \).
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = c\, \) kan vi skriva:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {c \, - \, c \over h} \; = \; \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} \; = \; 0 \]
Att \( f(x+h) = c\, \) inser man när man tolkar den givna funktionen \( f(x) = c\, \) så att den gäller för alla \( {\color{Red} x} \), även om \( x\, \) inte förekommer i funktionsuttrycket. Dvs funktionen \( \,f(x)\):s värde är alltid konstant oavsett vad man sätter in för \( x\, \). Detta även om man sätter in ett uttryck för \( x\, \), i det här fallet \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -5\, \) blir derivatan:
- \[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, - \, (-5) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-5 \, + \, 5 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {0 \over h} = 0 \]
Att \( f(x+h) = -5 \) beror på att funktionen \( \,f(x)\):s värde alltid är \( \,-5 \) oavsett vad man sätter in för \( x\, \), även om det är \( x+h\, \) som man sätter in.
Derivatan av en linjär funktion
Påstående:
Derivatan av en linjär funktion är konstant.
Om \( f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; k \)
Bevis:
Om vi tillämpar derivatans definition på \( f(x) = k\cdot x + m \) kan vi skriva\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot (x+h) + m - (k\cdot x + m) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot x + k\cdot h + m - k\cdot x - m \over h} = \lim_{h \to 0} \, {k\cdot h \over h} = k \]
Att \( f(x+h) = k\cdot (x+h) + m \) inser man när man i funktionen \( f(x)= k\cdot x + m \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Exempel:
För funktionen \( f(x) = -8\,x + 9 \) blir derivatan:
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, {f(x+h) \, - \, f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, (x+h) + 9 - (-8\,x + 9) \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, x -8\, h + 9 + 8\, x - 9 \over h} = \lim_{h \to 0} \, {-8\, h \over h} = -8 \]
Att \( f(x+h) = -8\, (x+h) + 9 \) inser man när man i funktionen \( f(x)= -8\,x + 9 \) ersätter \( x\, \) med \( x+h\, \).
Derivatan av en kvadratisk funktion
Påstående:
Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion.
Om \( f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. } \)
då \( f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b \)
Bevis:
Först ställer vi upp de uttryck som förekommer i derivatans definition.
För att ställa upp \( f\,(x+h) \) ersätter vi \( x\, \) med \( x+h\, \) i funktionen \( f(x) = a\,x^2 + b\,x + c \) :
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & a\,(x+h)^2 + b\,(x+h) + c & = \\ & = & a\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) + b\,x + b\,h + c & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - (a\,x^2 + b\,x + c) & = \\ & = & a\,x^2 + 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,x + b\,h + c - a\,x^2 - b\,x - c & = \\ & = & 2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h & = \\ \end{array}\]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {2\,a\,x\,h + a\,h^2 + b\,h \over h} = {h\cdot (2\,a\,x\ + a\,h + b) \over h} = 2\,a\,x\ + a\,h + b \]
Sedan tillämpar vi derivatans definition genom att bilda gränsvärdet:
\[ f\,'(x) \; = \; \lim_{h \to 0} \; (2\,a\,x\ + a\,h + b) \; = \; 2\,a\,x\ + b \]
Exempel:
För funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2 - 3\,x + 6 \) bildas derivatan steg för steg med hjälp av derivatans definition:
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) & = & 5\,(x+h)^2 - 3\,(x+h) + 6 & = \\ & = & 5\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 3\,x - 3\,h + 6 & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 \end{array}\]
\[ \begin{array}{rcl} f\,(x+h) - f\,(x) & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - (5\,x^2 - 3\,x + 6) & = \\ & = & 5\,x^2 + 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,x - 3\,h + 6 - 5\,x^2 + 3\,x - 6 & = \\ & = & 10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h & = \\ \end{array}\]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {10\,x\,h + 5\,h^2 - 3\,h \over h} = {h\cdot (10\,x\ + 5\,h - 3) \over h} = 10\,x\ + 5\,h - 3 \]
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} \, (10\,x + 5\,h - 3) = 10\,x - 3 \]
Derivatan av \( \displaystyle {1 \over x} \)
Påstående:
Om \( \displaystyle f(x) \; = \; {1 \over x} \)
då \( \displaystyle f\,'(x) \; = \; - \, {1 \over x^2} \)
Bevis (med derivatans definition):
\[ f(x+h) - f(x) = {1 \over x+h} - {1 \over x} = {x \over x\,(x+h)} - {x+h \over x\,(x+h)} = {x - (x+h) \over x\,(x+h)} = {x - x - h \over x\,(x+h)} = {- h \over x\,(x+h)} \]
\[ {f(x+h) - f(x) \over h} = {- h/h \over x\,(x+h)}= {- 1 \over x\,(x+h)} \]
\[ f\,'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over h} = \lim_{h \to 0} \; {- 1 \over x\,(x+h)} = {- 1 \over x\,(x+0)} = - \, {1 \over x^2} \]
Alternativt (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 2.
Derivatan av \( \sqrt{x} \)
Påstående:
Om \( f(x) \; = \; \sqrt{x} \)
då \( f\,'(x) \; = \; \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
Bevis (med deriveringsregeln för potenser): Se Derivatan av en potens, Exempel 3
Derivatan av ett polynom
Påstående:
En polynomfunktion deriveras termvis:
Om \( f(x) = a_n\, x^n \qquad\,\, + \, a_{n-1}\, x^{n-1} \qquad\qquad + \quad \ldots \quad + a_1\, x + \, a \)
då \( f\,'(x) = n\cdot a_n \, x^{n-1} \, + \, (n-1)\cdot a_{n-1} \, x^{n-2} \, + \quad \ldots \quad + \, a_1 \)
Bevis:
Eftersom en polynomfunktion bildas som en summa av termer där termerna i sin tur är potensfunktioner kan påståendet bevisas genom att först använda regeln för derivatan av en potensfunktion och sedan kombinera den med regeln för derivatan av en summa av funktioner.
Exempel:
För polynomfunktionen \( f(x) \;=\; \displaystyle {1 \over 2}\,x^4 \,\;\;\, + \,\;\;\; {5 \over 6}\,x^3\,-\,\,0,8\,x^2\,+\,12\,x\,-\,9 \) blir derivatan:
- \[ {\color{White} x} f\,'(x) = 4\cdot {1 \over 2}\,x^3 + 3\cdot {5 \over 6}\,x^2 - 2\cdot 0,8\,x \,+\, 12 \,=\, 2\,x^3 \,+\, {5 \over 2}\,x^2 \,-\, 1,6\,x + 12 \]
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
