1.3 Lösning 8a

För att faktorisera polynomet \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \) beräknar vi dess nollställen\[ 9\,x^2 - 6\,x + 1 = 0 \]

För att kunna använda Vietas formler måste ekvationen skrivas om till normalform\[\begin{align} 9\,x^2 - 6\,x + 1 & = 0 \qquad & | \; / \, 9 \\ x^2-{6\over 9}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} & = 0 \\ \end{align}\]

Normalformen ger Vietas formler\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = {2\over 3} \\ x_1 \cdot x_2 & = {1\over 9} \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = {1\over 3}\,\) och \( x_2 = {1\over 3}\,\) eftersom

\( \begin{align} {1\over 3} + {1\over 3} & = {2\over 3} \\ {1\over 3}\cdot {1\over 3} & = {1\over 9} \end{align}\)

Därför har normalformen \( x^2-{2\over 3}\,x+{1\over 9} \) följande faktorform\[ (x-{1\over 3}) \cdot (x-{1\over 3}) \] eller \( (x-{1\over 3})^2 \).

Det ursprungliga polynomet \( 9\,x^2 - 6\,x + 1 \) har faktorformen\[ 9 \cdot (x-{1\over 3}) \cdot (x-{1\over 3}) \].

Kontroll\[ 3 \cdot (x+2) \cdot (x-1) = 3 \cdot (x^2 - x + 2\,x - 2) = 3 \cdot (x^2 + x - 2) = \]

\[ = 3\,x^2 + 3\,x - 6 \]