1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner

Genomgång

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

Exempel 1 Diskret funktion

En torghandlare säljer ägg för \( \, 3 \) kr per styck.

Ställ upp och rita grafen till prisfunktionen som beskriver priset \( y \, \) i kr som en funktion av antalet \( n \, \) sålda ägg.

Lösning:

\( {\color{Red} 1} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 2} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( {\color{Red} 3} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\( \qquad \cdots \)

\( {\color{Red} n} \; \) ägg kostar \( {\color{Red} n} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} n} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\( y = 3\;{\color{Red} n} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} n}\,= {\rm {\color{Red} {heltal}}\,.} \)

Fil:Diskret prisfunktion agg 50.jpg

Grafen till prisfunktionen visar priset \( y \, \) i kr (vertikal axel)

som en funktion av antalet \( {\color{Red} n} \, \) (horisontell axel).

En diskret funktions graf ritas med separerade

prickar och inte med en genomdragen linje.

För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan.

\( y = 3\;{\color{Red} n} \) är en

diskret funktion

därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} n} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} n} \, \) = heltal är en diskret mängd.

I matematiken betyder diskret åtskild, avgränsad eller separerad och är motsatsen till kontinuerlig. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade från sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan \( \, 2 \, \) och \( \, 3 \, \) och inte heller mellan de andra heltalen. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Därför är även "antal ägg" diskret: Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Exempel 2 Kontinuerlig funktion

En annan torghandlare säljer färskpressad

granatäppeljuice för \( \, 30 \) kr per liter.

Ställ upp och rita grafen till prisfunktionen

som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) liter.

Lösning:

Av samma anledning som i Exempel 1 är

prisfunktionen här:

\( y = 30\;{\color{Red} x} \, , \quad {\rm där } \quad {\color{Red} x}\,= {\rm {\color{Red} {reellt\;tal}}\,.} \)

Fil:Kontinuerlig prisfunktion ris 50.jpg

Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \)

som en funktion av volymen \( {\color{Red} x} \) (i liter).

En kontinuerlig funktions graf ritas med en

genomdragen linje och inte med prickar.

En kontinuerlig funktions graf kan man rita

utan att lyfta pennan.

\( y = 30\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = reellt tal är en

kontinuerlig funktion

därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = volymen (i liter) är en kontinuerlig mängd.

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

Kontinuitet är en matematisk abstraktion som endast förekommer i talmängder eller andra matematiska objekt. Kontinuerliga funktioner är matematiska modeller som man i regel använder för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller. Sådana modeller studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter Diskret matematik.

Digital beräkning av en diskret funktion (Fibonaccis problem)

Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern Leonardo Pisano Fibonacci år 1202 formulerade i sin bok Liber abaci (Boken om räknekonsten).

Fibonaccis problem handlar om kaniners fortplantning:

Fil:Fibonacci problem 60.jpg

Om vi följer uppgiftens lydelse kan vi räkna fram de första månadernas kaninpopulation:

De två första månaderna finns det \( \, {\color{Red} 1} \, \) kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns \( \, {\color{Red} 2} \, \) kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns \( \, {\color{Red} 3} \, \) par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det \( \, {\color{Red} 5} \, \) par i månad 5. Osv. \( \cdots \).

Talföljden \( \, {\color{Red} 1}, \, {\color{Red} 1}, \, {\color{Red} 2}, \, {\color{Red} 3}, \, {\color{Red} 5}, \, \ldots \, \) som representerar antal kaninpar varje månad kallas fibonaccitalen.

Undersöker man talföljden noga kan man se följande enkelt mönster:

Mönster::

Summan av två på varandra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital.

Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på antal kaninpar när antalet månader växer. Vi ska använda digitala verktyg för att låta datorn sköta beräkningsarbetet. Mönstret ovan kan anses som en algoritm, dvs ett tillvägagångssätt, för att programmera datorn. T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel bra för en sådan beräkning:

Algoritm för fibonaccitalen i Excel

Klicka här för att följa algoritmen.

Algoritm i Excel

Med aloritmen ovan beräknas de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen till:

Antal månader	Antal kaninpar
\( 1\, \)	\( 1\, \)
\( 2\, \)	\( 1\, \)
\( 3\, \)	\( 2\, \)
\( 4\, \)	\( 3\, \)
\( 5\, \)	\( 5\, \)
\( 6\, \)	\( 8\, \)
\( 7\, \)	\( 13\, \)
\( 8\, \)	\( 21\, \)
\( 9\, \)	\( 34\, \)
\( 10\, \)	\( 55\, \)
\( 11\, \)	\( 89\, \)
\( 12\, \)	\( 144\, \)

Fil:Fibonacci 70.jpg

Grafen till prisfunktionen visar priset \( y \, \) i kr (vertikal axel)

som en funktion av antalet \( {\color{Red} n} \, \) (horisontell axel).

En diskret funktions graf ritas med separerade

prickar och inte med en genomdragen linje.

För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan.

Så här ser grafen till Fibonaccis funktion för de 12 första fibonaccitalen ut. Antalet kaninpar \( F(n) \, \) har ritats på den vertikala och Antalet månader \( n \, \) på den horisontella axeln:

Som man ser är Fibonaccis funktion \( F({\color{Red} n}) \, \) en diskret funktion därför att dess definitionsmängd - bestående av alla \( {\color{Red} n} \, \) - är heltal.

Som man ser växer fibonaccitalen, dvs ökar kaninpopulationen, ganska fort. Nu kan vi äntligen besvara den inledande frågan:

Det kommer att finnas \( 144 \, \) kaninpar om ett år.

Fibonaccis funktion

För att beskriva detta mönster inför vi beteckningarna:

\[ n \, = \, {\rm Antalet\;månader} \]

\[ F(n)\, = \, {\rm Antalet\;kaninpar\;i\;månaden} \, n \]

De första två fibonaccitalen tar vi från tabellen ovan. Det är \( 1\, \) och \( 1\, \). Resten - det som följer - är en ren översättning av mönstrets svenska till matematiskt språk som ger oss Fibonaccis funktion:

\( F(n) \, = \, \begin{cases} 1 & \mbox{om } n = 1 \\ 1 & \mbox{om } n = 2 \qquad\qquad n \quad\mbox{heltal} \\ F(n-1) + F(n-2) & \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{cases} \)

Så här brukar man skriva för att för en och samma funktion definiera olika funktionsuttryck i olika delar av dess definitionsmängd. Kanske blir det enklare att förstå den om den skrivs på följande förenklat sätt:

\[\begin{array}{rcl} F(1) & = & 1 \\ F(2) & = & 1 \\ F(n) & = & F(n-1) + F(n-2) \qquad \mbox{om } n = 3,\,4,\,5,\,\cdots \end{array}\]

Formeln ovan definierar en diskret funktion eftersom \( n\, = \, \) antalet kaninpar är heltal. Den kallas Fibonaccis funktion.

De första raderna i definitionen ovan säger att de första två fibonaccitalen är 1 och 1. Den andra raden säger att det n-te fibonaccitalet är summan av de två föregående, vilket är bara en annan formulering av samma mönster vi upptäckte tidigare.

En intressant egenskap av Fibonaccis funktion är att den är rekursiv, vilket betyder att den i sin definition anropar sig själv, fast med olika argument, dvs ett värde beräknas med hjälp av föregående värden. För att se detta titta på Fibonaccis funktion: I en vanlig funktion står \( F(n) \, \) vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln \( n \, \) höger om likhetstecknet. Men här står \( F(n) \, \) på båda sidor likhetstecknet, fast för olika månader (= argument). För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första \( F(1) = 1 \, \) och \( F(2) = 1 \, \), s.k. startvärden, kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden. Att \( F(n) \, \) anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därför kallas Fibonaccis formel även Fibonaccis rekursionsformel.

För ett intressant samband mellan fibonaccitalen och det s.k. gyllene snittet se övning 6.