3.5 Lösning 4c

Vi deriverar målfunktionen:

\[ A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, {1 \over 2}\,x^3 \]

\[ A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 \]

\[ A''(x) \, = \, 6 \, - \, 3\,x \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & 6\,x \, - \, {3 \over 2}\,x^2 & = & 0 \\ & & 3\,x \cdot (2 \, - \, {1 \over 2}\,x) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & 2 \, - \, {1 \over 2}\,x & = & 0 \\ & & 2 & = & {1 \over 2}\,x \\ & & x_2 & = & 4 \end{array}\]

För \( \, x_1 = 0 \, \) blir arean \( \, A(0) = 0 \, \) och därmed minimal.

För \( \, x_2 = 4 \, \) ger andraderivatans tecken:

\( A''(4) = -18\,x \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum för \( \, x = 0,4 \, \).

\( x = 4 \, \) är \( P\):s \( x\)-koordinat. För att få \( y\)-koordinaten sätter vi in \( \, x \, = \, 4 \, \) i den parabelns ekvation:

\[ y = 6\,x - 6\,x^2 \]

\[ y = 6 \cdot {2 \over 3} - 6 \cdot \left({2 \over 3}\right)^2 \, = \, 4 \, - 6 \cdot {4 \over 9} \, = \, 4 \, - {8 \over 3} \, = \ {4 \over 3} \]

För \( \displaystyle \, P\, \left({2 \over 3},\,{4 \over 3}\right) \, \) blir triangelns area maximal.