3.5 Lösning 4c

Vi deriverar målfunktionen:

\[ A\,(x) \, = \, 3\,x^2 \, - \, 3\,x^3 \]

\[ A'(x) \, = \, 6\,x \, - \, 9\,x^2 \]

\[ A''(x) \, = \, 6 \, - \, 18\,x \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -\,{12 \over 5}\,x \, + \, 4 & = & 0 \\ & & 4 & = & {12 \over 5}\,x \\ & & {4\cdot 5 \over 12} & = & x \\ & & x & = & {5 \over 3} \, = \, 1,67 \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,67 \, \):

\( A''(1,67) = \displaystyle -{12 \over 5} \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,67 \, \).

\( x = 1,67 \, \) är \( P\):s \( x\)-koordinat. För att få \( y\)-koordinaten sätter vi in \( \, x = \displaystyle {5 \over 3} \, = \, 1,67 \, \) i den räta linjens ekvation:

\[ y = -\,{6 \over 5}\,x + 4 \]

\[ y = -\,{6 \over 5} \cdot {5 \over 3} \, + \, 4 \, = \, -2 \, + \, 4 \, = \, 2 \]

För \( \, P(1,67;\,2) \, \) blir rektangelns area maximal.