3.5 Lösning 1c

Vi deriverar målfunktionen:

\[ A\,(x) \, = \, -\,{6 \over 5}\,x^2 \, + \, 4\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{12 \over 5}\,x \, + \, 4 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{12 \over 5} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -\,{12 \over 5}\,x \, + \, 4 & = & 0 \\ & & 4 & = & {12 \over 5}\,x \\ & & {4\cdot 5 \over 12} & = & x \\ & & x & = & {5 \over 3} \, = \, 1,67 \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,67 \, \):

\( A''(1,67) = \displaystyle -{12 \over 5} \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,67 \, \).

För \( \, x = 1,67 \, {\rm cm} \, \) blir rektangelns area maximal.

\( P\):s koordinater:

\[ \displaystyle A\,({5 \over 3}) \, = \, -\,{6 \over 5}\,\left({5 \over 3}\right)^2 \, + \, 4\,{5 \over 3} \, = \,\]