3.5 Lösning 1c

Vi deriverar målfunktionen:

\[ A\,(x) \, = \, -\,{6 \over 5}\,x^2 \, + \, 4\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{12 \over 5}\,x \, + \, 4 \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{12 \over 5} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}\]

Pga målfunktionens definitionsmängd förkastas \( \, x_2 = -1,83 \, \) medan \( \, x_1 = 1,83 \, \) ligger inom definitionsmängden.

Andraderivatans tecken för \( \, x = 1,83 \, \):

\( A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \, \) har ett lokalt maximum i \( \, x = 1,83 \, \).

För \( \, x = 1,83 \, {\rm cm} \, \) antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.