3.5 Lösning 1b

Rektangelns area är \( \quad A\,(x, \, y) \; = \; x \, \cdot \, y \).

Vi skriver om den till en funktion \( \, A\,(x) \, \) av endast en variabel genom att utnyttja bivillkoret:

\[ \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \]/strong></div>

Inom optimeringslära \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering och minimering) av funktioner \(-\) kallas sambandet ovan för problemets bivillkor.

Bivillkor för ett extremvärdesproblem:

Bivillkor för ett extremvärdesproblem är samband mellan problemets variabler. Bivillkor bestäms av problemets givna

geometriska eller andra egenskaper. Ibland kallas de även för tvångsvillkor (eng. constraints).

Bivillkoret för vårt problem är parabelns ekvation, för punkten \( \, (x,\,y) \, \) måste följa parabeln.

Vi använder bivillkoret för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler till en funktion av endast en variabel.

Därför sätter vi in bivillkoret i \( \; A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\). På så sätt får vi ett uttryck för rektangelns area som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x \]