Ekvationer

Teori

Övningar

Vilken typ av ekvation?

Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet. I Matte A-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ\[ 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \]

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x \) är ju samma som \( x^1 \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen. I Matte B-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ\[ x^2 + 6\,x - 16 = 0 \]

Sådana ekvationer kallas kvadratiska eller 2:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2, dvs som \( x^2 \).

3:e- och högre gradsekvationer är i sin generella form så pass svåra att de inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. omöjligt att med algebraiska operationer (\( + \), \( - \), \( \cdot \), \( / \) och \( \sqrt{} \)) lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form. 1824 bevisades denna "omöjlighet" av den norske matematikern Niels Henrik Abel. Vissa specialfall däremot går att lösa. Vi kommer att ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvationer som går att återföra till 2:a gradsekvationer. Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av typ\[ \sqrt{x + 2} - 7 = x \]

Sådana ekvationer kallas rotekvationer och vi kommer att lösa dem genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen (svårighetsgraden) till en lägre, redan känd typ.

Rotekvationer

Här följer ett exempel på hur man löser rotekvationen ovan genom att skriva om den till en 2:a gradsekvation.