3.5 Extremvärdesproblem

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion 33 Extremvärdesproblem I

Lektion 34 Extremvärdesproblem II

Exempel 1 Glasskiva

En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått i cm:

Ur skivan ska en rektangulär glasplatta skäras ut så att glasplattans area \( \, A(x) \, \) blir maximal.

a) Ställ upp arean \( \, A(x) \, \) som en funktion som endast beror av \( \, x \, \).

b) Bestäm \( \, x \, \) så att funktionen \( \, A(x) \, \) antar sitt maximum.

c) Beräkna glasplattans maximala area.

Lösning:

a) Vi inför beteckningen \( \; {\color{Red} y} \; \) för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som:

\[ A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y} \]

Men här är \( \, A\,(x, {\color{Red} y}) \, \) en funktion av två variabler som vi inte kan jobba med. För att skriva om den till en funktion av endast en variabel, nämligen \( \, x \, \), måste vi hitta ett samband mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \, \). Dvs \( \, {\color{Red} y} \, \) måste uttryckas med \( \, x \, \) och på så sätt elimineras.

Detta samband bestäms rektangelns "fria" hörn som är bunden till triangelns hypotenusa. Det hörnet måste ju alltid ligga på hypotenusan.

Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, så här: Triangelns hypotenusa blir del av en rät linje med negativ lutning. Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna räta linje. Den räta linjens ekvation i \(\,k\)-form: \[ {\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m \] Lutningen \( \, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \) Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln: \( \quad m \, = \, 20 \) Den räta linjens ekvation blir då: \( \quad \displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \) Denna ekvation är det önskade sambandet mellan \( \, x \, \) och \( \, {\color{Red} y} \,\).

Vi sätter in detta samband i \( \; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \; \) för att eliminera \( \, {\color{Red} y} \,\) och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av \( \, x \):

\[ A\,(x, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot (-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

Inom [optimeringslära] \(-\) den matematiska disciplin som sysslar med optimering (maximering eller minimering) av funktioner \(-\) kallas den erhållna funktionen problemets målfunktion:

\[ A\,(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x \]

Här gäller det att maximera denna funktion.