3.4 Lösning 6b

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 - 12\,x^2 + 45\,x - 44 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 - 24\,x + 45 \\ f''(x) & = & 6\,x - 24 \end{array}\]

Steg 2   Sätt derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0 \end{array}\]

Steg 3   Lös ekvationen som uppstår (beräkna derivatans nollställen):

\[\begin{array}{rcl} 3\,x^2 - 24\,x + 45 & = & 0 \\ x^2 - 8\,x + 15 & = & 0 \\ \end{array}\]

\[ \begin{array}{rcl} {\rm Vieta:} \quad x_1 \cdot x_2 & = & 15 \\ x_1 + x_2 & = & -(-8) = 8 \\ &\Downarrow& \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 5 \end{array}\]

Dessa är \( x\)-koordinater till eventuella lokala maximi-, minimi- eller terasspunkter.

Steg 4   Sätt in derivatans nollställen i andraderivatan:

\( {\color{White} x} \qquad \underline{x_1 = 3} \, \):

\[ f''(x) \, = \, 6\,x - 24 \]

\[ f''(3) \, = \, 6\cdot 3 - 24 = -6 < 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = 3 \quad {\rm lokalt\;maximum.} \]