1.1 Lösning 9

\(\begin{align} 2 & = - { x \over \sqrt{1-x^2} } & & | \;\; \cdot \sqrt{1-x^2} \\ 2 \cdot \sqrt{1-x^2} & = - \; x & & | \; (\;\;\;)^2 \\ 4 \cdot (1 - x^2) & = x^2 \\ 4 - 4\,x^2 & = x^2 & & | \; + 4\,x^2 \\ 4 & = 5\,x^2 & & | \; / \; 5 \\ {4 \over 5} & = x^2 & & | \; \sqrt{\;\;} \\ x_{1,2} & = \pm {2 \over \sqrt{5}} \\ x_1 & = {2 \over \sqrt{5}} \\ x_2 & = -{2 \over \sqrt{5}} \\ \end{align}\)

Prövning:

Först prövar vi \( x_1 = {2 \over \sqrt{5}} \)

VL\[ 2\, \]

HL\[ - { {2 \over \sqrt{5}} \over \sqrt{1-{4 \over 5}} } = - { {2 \over \sqrt{5}} \over \sqrt{1 \over 5} } = - { {2 \over \sqrt{5}} \over {1 \over \sqrt{5}} } = - { {2 \over \sqrt{5}} \over {\sqrt{1} \over \sqrt{5}} } = - { {2 \cdot \sqrt{5}} \over {\sqrt{1} \cdot \sqrt{5}} } = - { 2 \over \sqrt{1} } = -\,2 \]

VL = HL \( \Rightarrow\; x_1 = 2 \) är en sann rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = -3 \):

VL\[ \displaystyle -3 \]

HL\[ \sqrt{-3+7} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\; x_2 = -3 \) är en falsk rot.

Svar: Ekvationen

\[ x = \sqrt{x+7} - 1 \]

har den enda lösningen

\[ \displaystyle x = 2 \]