1.1 Lösning 9

\(\begin{align} x & = \sqrt{x+7} - 1 & & | \;\; + 1 \\ x + 1 & = \sqrt{x+7} & & | \; (\;\;\;)^2 \\ (x + 1)^2 & = x + 7 \\ x^2 + 2 x + 1 & = x + 7 & & | -x-7 \\ x^2 + x - 6 & = 0 \\ x_{1,2} & = -0,5 \pm \sqrt{0,25 + 6} \\ x_{1,2} & = -0,5 \pm 2,5 \\ x_1 & = 2 \\ x_2 & = -3 \\ \end{align}\)

Prövning:

Först prövar vi \( x_1 = 2 \):

VL\[ \displaystyle 2 \]

HL\[ \sqrt{2+7} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2 \]

VL = HL \( \Rightarrow\; x_1 = 2 \) är en sann rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = -3 \):

VL\[ \displaystyle -3 \]

HL\[ \sqrt{-3+7} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1 \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\; x_2 = -3 \) är en falsk rot.

Svar: Ekvationen

\[ x = \sqrt{x+7} - 1 \]

har den enda lösningen

\[ \displaystyle x = 2 \]