2.4 Lösning 7
Tangenten är en rät linje. Räta linjens ekvation i \(\,k\)-form är:
- \[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]
Tangenten till kurvan \( y = f(x) = x^2 + 5 x - 1\, \) i \( x = -1 \) har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i \( x = -1 \) är \( f\,'(-1) \). Dvs:
- \[ k \, = \, f\,'(-1) \]
Därför bildar vi derivatan \( f\,'(x) \) och beräknar \( f\,'(-1) \):
\[ f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, \]
\[ f\,'(x) \,=\, 2\,x + 5 \]
\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]
Således:
- \[ k \, = \, 3 \]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]
Beröringspunktens koordinater:
- \[ x = -3 \]
- \[ y = f(-3) = (-3)^2 = 9 \]
Beröringspunkten ligger på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & -6\,x \, + \, m \\ 9 & = & -6 \cdot (-3) \, + \, m \\ 9 & = & 18 \, + \, m \\ 9 - 18 & = & m \\ - 9 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, -6\,x \, - \, 9 \]
