2.4 Lösning 7

Tangenten är en rät linje. Räta linjens ekvation i \(\,k\)-form är:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Tangenten till parabeln    \( y = f(x) = x^2 \)    i    \( x = -3 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva parabeln i denna punkt. Parabelns lutning i    \( x = -3 \)    är \( f\,'(-3) \). Därför:

\[ k \, = \, f\,'(-3) \]

Från uppgiftens del a) har vi att \( f\,'(-3) = -6 \). Således:

\[ k \, = \, -6 \]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, -6\,x \, + \, m \]

Beröringspunktens koordinater:

\[ x = -3 \]

\[ y = f(-3) = (-3)^2 = 9 \]

Beröringspunkten ligger på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & -6\,x \, + \, m \\ 9 & = & -6 \cdot (-3) \, + \, m \\ 9 & = & 18 \, + \, m \\ 9 - 18 & = & m \\ - 9 & = & m \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, -6\,x \, - \, 9 \]