1.3 Lösning 12a

Låt oss kalla polynomet \( P(x)\,\):s två nollställen som har samma absolutbelopp, men olika förtecken, för \( a\, \). Detta innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ \begin{align} P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 & = (x+a)\cdot (x-a) \cdot Q(x) \\ & = (x^2-a^2) \cdot Q(x) \end{align} \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter b, c och d vi får bestämma\[ Q(x) = b\,x^2 + c\,x + d \]

Dessutom måste vi bestämma \( a\, \). Då kan vi skriva \( P(x)\,\):s delfaktorisering så här\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) \]

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma a, b, c och d. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} & x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x^2-a^2) \cdot (b\,x^2 + c\,x + d) = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + d\,x^2 + a^2\,b\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d = \\ & = b\,x^4 + c\,x^3 + (d+a^2\,b)\,x^2 - a^2\,c\,x - a^2\,d \end{align}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} b & = 1 \\ c & = 3 \\ d + a^2\,b & = -7 \\ - a^2\,c & = -27 \\ - a^2\,d & = -18 \end{align}\]

Genom insättning av \( c = 3\, \) i den 4:e ekvationen får vi\[ \begin{align} - a^2\cdot 3 & = -27 \\ a^2 & = {27 \over 3} \\ a^2 & = 9 \\ a & = 3 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 3\, \) i den sista ekvationen får vi\[ \begin{align} - 3^2\,d & = -18 \\ - 9\,d & = -18 \\ d & = 2 \end{align}\]

De andra ekvationerna bekräftar våra resultat:

\[ \begin{align} a & = 3 \\ b & = 1 \\ c & = 3 \\ d & = 2 \end{align}\]

Polynomet \( P(x)\,\):s två nollställen som har samma absolutbelopp \( a=3\, \), men olika förtecken, blir då:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = -3 \\ \end{align}\]

Och polynomet \( Q(x)\, \) blir\[ Q(x) = x^2 + 3\,x + 2 \]

Sammanfattningsvis kan delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) skrivas så här\[ P(x) = x^4 + 3\,x^3 - 7\,x^2 - 27\,x - 18 = (x+3)\cdot (x-3) \cdot (x^2 + 3\,x + 2) \]