1.5a Ledning 11

Visa först med den explicita formeln\[ F(1) = 1 \quad\text{och }\quad F(2) = 1 \]

För den allmänna behandlingen med \( n\, \) inför några förkortande beteckningar för uttryck som förekommer ofta\[ c_1 = {1\over\sqrt{5}} \qquad\qquad\qquad c_2 = -\,{1\over\sqrt{5}} \]

\( r_1 = \) \( {1+\sqrt{5}\over 2} \qquad\quad r_2 = {1-\sqrt{5}\over 2} \)

Då får den explicita formeln följande lite enklare form:

\[ F(n) = \] \( c_1\,r_1^n + c_2\,r_2^n \)

Bilda med denna form \( F(n-1) \, \) och \( F(n-2) \, \) och visa identiteten\[ F(n) = F(n-1) + F(n-2)\, \]

Skulle det vara enklare för dig skulle du kunna även visa den ekvivalenta identiteten istället\[ F(n+2) = F(n+1) + F(n)\, \]

För att slutföra beviset borde du återställa de inledningsvis förkortade uttrycken och sätta in dem istället för sina resp. förkortningar \( c_1, c_2, r_1, r_2\, \).